逻辑回归算法的原理及实现(LR)

Posted 2020-08-21 Little_Rookie

Logistic回归虽然名字叫”回归” ，但却是一种分类学习方法。使用场景大概有两个：第一用来预测，第二寻找因变量的影响因素。逻辑回归(Logistic Regression, LR)又称为逻辑回归分析，是分类和预测算法中的一种。通过历史数据的表现对未来结果发生的概率进行预测。例如，我们可以将购买的概率设置为因变量，将用户的特征属性，例如性别，年龄，注册时间等设置为自变量。根据特征属性预测购买的概率。逻辑回归与回归分析有很多相似之处，在开始介绍逻辑回归之前我们先来看下回归分析。

回归分析用来描述自变量x和因变量Y之间的关系，或者说自变量X对因变量Y的影响程度，并对因变量Y进行预测。其中因变量是我们希望获得的结果，自变量是影响结果的潜在因素，自变量可以有一个，也可以有多个。一个自变量的叫做一元回归分析，超过一个自变量的叫做多元回归分析。

下面是一组广告费用和曝光次数的数据，费用和曝光次数一一对应。其中曝光次数是我们希望知道的结果，费用是影响曝光次数的因素，我们将费用设置为自变量X，将曝光次数设置为因变量Y，通过一元线性回归方程和判定系数可以发现费用(X)对曝光次数(Y)的影响。

以下为一元回归线性方式，其中y是因变量，X是自变量，我们只需求出截距b0和斜率b1就可以获得费用和曝光次数之间的关系，并对曝光次数进行预测。这里我们使用最小二乘法来计算截距b0和斜率b1。最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

下表中是使用最小二乘法计算回归方程的一些必要的计算过程。在表中最左侧的两列分别为自变量X和因变量Y，我们首先计算出自变量和因变量的均值，然后计算每一个观测值与均值的差，以及用于计算回归方程斜率b1所需的数据。

根据表中的数据按公式计算出了回归方程的斜率b1，计算过程如下。斜率表示了自变量和因变量间的关系，斜率为正表示自变量和因变量正相关，斜率为负表示自变量和因变量负相关，斜率为0表示自变量和因变量不相关。

求得斜率b1后，按下面的公式可以求出Y轴的截距b0。

将斜率b1和截距b0代入到回归方程中，通过这个方程我们可以获得自变量和因变量的关系，费用每增加1元，曝光次数会增长7437次。以下为回归方程和图示。

 

在回归方程的图示中，还有一个R^2，这个值叫做判定系数，用来衡量回归方程是否很好的拟合了样本的数据。判定系数在0-1之间，值越大说明拟合的越好，换句话说就是自变量对因变量的解释度越高。判定系数的计算公式为SST=SSR+SSE，其中SST是总平方和，SSR是回归平方和，SSE是误差平方和。下表为计算判定系数所需三个指标的一些必要的计算过程。

根据前面求得的回归平方和(SSR)和总平方和(SST)求得判定系数为0.94344。

以上为回归方程的计算过程，在根据费用预测曝光数量的场景下，我们可以通过回归方程在已知费用的情况下计算出曝光数量。逻辑回归与回归方程相比在线性回归的基础上增加了一个逻辑函数。例如通过用户的属性和特征来判断用户最终是否会进行购买。其中购买的概率是因变量Y，用户的属性和特征是自变量X。Y值越大说明用户购买的概率越大。这里我们使用事件发生的可能性（odds）来表示购买与未购买的比值。

使用E作为购买事件，P(E)是购买的概率，P(E’)是未购买的概率，Odds(E)是事件E(购买)发生的可能性。

Odds是一个从0到无穷的数字，Odds的值越大，表明事件发生的可能性越大。下面我们要将Odds转化为0-1之间的概率函数。首先对Odds取自然对数，得到logit方程，logit是一个范围在负无穷到正无穷的值。

基于上面的logit方程，获得以下公式：

其中使用π替换了公式中的P(E),π=P(E)。根据指数函数和对数规则获得以下公式：

并最终获得逻辑回归方程：

下面根据逻辑回归方程来计算用户购买的概率，下表是用户注册天数和是否购买的数据，其中注册天数是自变量X，是否购买是自变量Y。我们将购买标记为1，将未购买标记为0。

接下来我们将在Excel中通过8个步骤计算出逻辑回归方程的斜率和截距。并通过方程预测新用户是否会购买。

• 第一步，使用Excel的排序功能对原始数据按因变量Y进行排序，将已购买和未购买的数据分开，使得数据特征更加明显。
• 第二步，按照Logit方程预设斜率b1和截距b0的值，这里我们将两个值都预设为0.1。后续再通过Excel求最优解。
• 第三步，按照logit方程，使用之前预设的斜率和截距值计算出L值。

• 第四步，将L值取自然对数，
• 第五步，计算P(X)的值，P(X)为事件发生的可能性(Odds)。
• 具体的计算步骤和过程见下图。

• 第六步，计算每个值的对数似然函数估计值（Log-Likelihood）。方法和过程见下图。
• 第七步，将对数似然函数值进行汇总。

• 第八步，使用Excel的规划求解功能，计算最大对数似然函数值。方法和过程见下图。设置汇总的对数似然函数值LL为最大化的目标，预设的斜率b1和截距b0是可变单元格，取消”使无约束变量为非负数”的选项。进行求解。

Excel将自动求出逻辑回归方程中斜率和截距的最优解，结果如下图所示。

求得逻辑回归方程的斜率和截距以后，我们可以将值代入方程，获得一个注册天数与购买概率的预测模型，通过这个模型我们可以对不同注册天数(X)用户的购买概率(Y)进行预测。以下为计算过程。

• 第一步，输入自变量注册天数(X)的值，这里我们输入50天。
• 第二步，将输入的X值，以及斜率和截距套入Logit方程，求出L值。
• 第三步，对L值取自然对数。
• 第四步，求时间发生可能性P(X)的概率值。

注册天数为50天的用户购买的概率约为17.60%。

我们将所有注册天数的值代入到购买概率预测模型中，获得了一条注册天数对购买概率影响的曲线。从曲线中可以发现，注册天数在较低和较高天数的用户购买概率较为平稳。中间天数用户的购买概率变化较大。

我们继续在上面的计算结果中增加新的自变量“年龄”。以下是原始数据的截图。现在有年龄和注册天数两个自变量和一个因变量。

依照前面的方法计算斜率和截距的最优解，并获得逻辑回归方程，将不同的年龄和注册天数代入到方程中，获得了用户年龄和注册天数对购买的预测模型。我们通过Excel的三维图表来绘制年龄和注册天数对购买概率的影响。

从图中可以看出，购买概率随着注册天数的增加而增长，并且在相同的注册天数下，年龄较小的用户购买概率相对较高。

转载于: http://bluewhale.cc/2016-05-18/logistic-regression.html#ixzz4RbUh8R3T

一 从线性回归到Logistic回归

线性回归和Logistic回归都是广义线性模型的特例。

假设有一个因变量y和一组自变量x₁, x₂, x₃, ... , x_n，其中y为连续变量，我们可以拟合一个线性方程：

y =β₀ +β₁*x₁ +β₂*x₂ +β₃*x₃ +...+β_n*x_n

并通过最小二乘法估计各个β系数的值。

如果y为二分类变量，只能取值0或1，那么线性回归方程就会遇到困难: 方程右侧是一个连续的值，取值为负无穷到正无穷，而左侧只能取值[0,1]，无法对应。为了继续使用线性回归的思想，统计学家想到了一个变换方法，就是将方程右边的取值变换为[0,1]。最后选中了Logistic函数：

y = 1 / (1+e^-x)

这是一个S型函数，值域为(0,1)，能将任何数值映射到(0,1)，且具有无限阶可导等优良数学性质。

我们将线性回归方程改写为：

y = 1 / (1+e^-z),

其中，z =β₀ +β₁*x₁ +β₂*x₂ +β₃*x₃ +...+β_n*x_n

此时方程两边的取值都在0和1之间。

进一步数学变换，可以写为：

Ln(y/(1-y)) =β₀ +β₁*x₁ +β₂*x₂ +β₃*x₃ +...+β_n*x_n

Ln(y/(1-y))称为Logit变换。我们再将y视为y取值为1的概率p(y=1)，因此，1-y就是y取值为0的概率p(y=0)，所以上式改写为：

p(y=1) = e^z/(1+e^z),

p(y=0) = 1/(1+e^z),

其中，z =β₀ +β₁*x₁ +β₂*x₂ +β₃*x₃ +...+β_n*x_n.

接下来就可以使用”最大似然法”估计出各个系数β。

 

二 odds与OR复习

      odds: 称为几率、比值、比数，是指某事件发生的可能性(概率)与不发生的可能性（概率）之比。用p表示事件发生的概率，则：odds = p/(1-p)。

      OR：比值比，为实验组的事件发生几率(odds1)/对照组的事件发生几率(odds2)。 

 

三 Logistic回归结果的解读

      我们用一个例子来说明，这个例子中包含200名学生数据，包括1个自变量和4个自变量：

      因变量:  hon，表示学生是否在荣誉班(honors class)，1表示是，0表示否；

      自变量：

      female ：性别，分类变量，1=女，0=男

      read: 阅读成绩，为连续变量

      write: 写作成绩，为连续变量

      math：数学成绩，为连续变量 

 

      1、不包含任何变量的Logistic回归

      首先拟合一个不包含任何变量的Logistic回归，

      模型为 ln(p/(1-p) =β₀

      回归结果如下（结果经过编辑）：

hon	系数β	标准误	P
截距	-1.12546	0.164	0.000

      这里的系数β就是模型中的β₀ = -1.12546，

      我们用p表示学生在荣誉班的概率，所以有ln(p/(1-p) =β₀ = -1.12546，

      解方程得：p = 0.245。

      odds = p/1-p = 0.3245

      这里的p是什么意思呢？p就是所有数据中hon=1的概率。

      我们来统计一下整个hon的数据:

hon	例数	百分比
0	151	75.5%
1	49	24.5%

      hon取值为1的概率p为49/(151+49) = 24.5% = 0.245，我们可以手动计算出ln(p/(1-p) = -1.12546，等于系数β₀。可以得出关系：

      β₀=ln(odds)。

 

      2、包含一个二分类因变量的模型

      拟合一个包含二分类因变量female的Logistic回归，

      模型为 ln(p/(1-p)  =β₀ +β₁* female.

      回归结果如下（结果经过编辑）：

hon	系数β	标准误	P
female	0.593	.3414294	0.083
截距	-1.47	.2689555	0.000

      在解读这个结果之前，先看一下hon和female的交叉表：

hon	female		Total
	Male	Female
0	74	77	151
1	17	32	49
Total	91	109

根据这个交叉表，对于男性（Male），其处在荣誉班级的概率为17/91，处在非荣誉班级的概率为74/91，所以其处在荣誉班级的几率odds1=(17/91)/(74/91) = 17/74 = 0.23；相应的，女性处于荣誉班级的几率odds2 = (32/109)/(77/109)=32/77 = 0.42。女性对男性的几率之比OR = odds2/odds1 = 0.42/0.23 = 1.809。我们可以说，女性比男性在荣誉班的几率高80.9%。

回到Logistic回归结果。截距的系数-1.47是男性odds的对数（因为男性用female=0表示，是对照组），ln(0.23) = -1.47。变量female的系数为0.593，是女性对男性的OR值的对数，ln(1.809) = 0.593。所以我们可以得出关系: OR = exp(β)，或者β= ln(OR)（exp(x)函数为指数函数，代表e的x次方）。

 

      3、包含一个连续变量的模型

      拟合一个包含连续变量math的Logistic回归，

      模型为 ln(p/(1-p)  =β₀ +β₁* math.

      回归结果如下（结果经过编辑）：

hon	系数β	标准误	P
math	.1563404	.0256095	0.000
截距	-9.793942	1.481745	0.000

      这里截距系数的含义是在荣誉班中math成绩为0的odds的对数。我们计算出odds = exp(-9.793942) = .00005579，是非常小的。因为在我们的数据中，没有math成绩为0的学生，所以这是一个外推出来的假想值。

      怎么解释math的系数呢？根据拟合的模型，有：

      ln(p/(1-p)) =  - 9.793942  + .1563404*math

      我们先假设math=54，有：

      ln(p/(1-p))(math=54) = - 9.793942 + .1563404 *54

      然后我们把math提高提高一个单位，令math=55，有：

      ln(p/(1-p))(math=55) = - 9.793942 + .1563404 *55

      两者之差：

      ln(p/(1-p))(math=55) - ln(p/1-p))(math = 54) = 0.1563404.

      正好是变量math的系数。

      由此我们可以说，math每提高1个单位，odds（即p/(1-p)，也即处于荣誉班的几率）的对数增加0.1563404。

      那么odds增加多少呢？根据对数公式：

      ln(p/(1-p))(math=55) - ln(p/1-p))(math = 54) = ln((p/(1-p)(math=55)/ (p/(1-p)(math=54))) = ln(odds(math=55)/ odds(math=54)) = 0.1563404.

      所以：

      odds(math=55)/ odds(math=54)  =  exp(0.1563404) = 1.169.

      因此我们可以说，math每升高一个单位，odds增加16.9%。且与math的所处的绝对值无关。

      聪明的读者肯定发现，odds(math=55)/ odds(math=54)不就是OR嘛！

 

      4、包含多个变量的模型（无交互效应）

      拟合一个包含female、math、read的Logistic回归，

      模型为 ln(p/(1-p) = β₀ +β₁* math+β₂* female+β₃* read.

      回归结果如下（结果经过编辑）：

hon	系数β	标准误	P
math	.1229589	略	0.000
female	0.979948	略	0.020
read	.0590632	略	0.026
截距	-11.77025	略	0.000

      该结果说明:

     （1） 性别：在math和read成绩都相同的条件下，女性（female=1）进入荣誉班的几率（odds）是男性（female=0）的exp(0.979948) = 2.66倍，或者说，女性的几率比男性高166%。

     （2） math成绩：在female和read都相同的条件下，math成绩每提高1，进入荣誉班的几率提高13%（因为exp(0.1229589) = 1.13）。

     （3）read的解读类似math。

 

      5、包含交互相应的模型

      拟合一个包含female、math和两者交互相应的Logistic回归，

      模型为 ln(p/(1-p)  =β₀ +β₁* female+β₂* math+β₃* female *math.

      所谓交互效应，是指一个变量对结果的影响因另一个变量取值的不同而不同。

      回归结果如下（结果经过编辑）：

hon	系数β	标准误	P
female	-2.899863	略	0.349
math	.1293781	略	0.000
female*math	.0669951	略	0.210
截距	-8.745841	略	0.000

      注意：female*math项的P为0.21，可以认为没有交互相应。但这里我们为了讲解交互效应，暂时忽略P值，姑且认为他们是存在交互效应的。

      由于交互效应的存在，我们就不能说在保持math和female*math不变的情况下，female的影响如何如何，因为math和female*math是不可能保持不变的!

      对于这种简单的情况，我们可以分别拟合两个方程，

      对于男性（female=0）：

      log(p/(1-p))= β₀ + β₂*math.

      对于女性（female=1）：

      log(p/(1-p))= (β₀ + β₁) + (β₂ + β₃ )*math.

      然后分别解释。