图论学习

Posted 2020-08-21 Pealicx

一、最短路问题和最小生成树。

　　带权图分为有向和无向，无向图的最短路径又叫做最小生成树，有prime算法和kruskal算法；有向图的最短路径算法有dijkstra算法和floyd算法。

　　生成树的概念：联通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树 生成树是联通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则 将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之编程非连通图。生成树各边的权 值总和称为生成素的权。权最小的生成树称为最小生成树，常用的算法有prime算法和kruskal算法。

　　最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径，常用的算法有：floyd算法和dijkstra算法。

Prime算法：

　　普利姆算法求最小生成树时候，和边数无关，只和定点的数量相关，所以适合求稠密网的最小生成树，时间复杂度为O（n*n）。

　　算法过程：

　　1.将一个图的顶点分为两部分，一部分是最小生成树中的结点（A集合），另一部分是未处理的结点（B集合）。

　　2.首先选择一个结点，将这个结点加入A中，然后，对集合A中的顶点遍历，找出A中顶点关联的边权值最小的那个（设为v），将此顶点从B中删除，加入集合A中。

　　3.递归重复步骤2，直到B集合中的结点为空，结束此过程。

　　4.A集合中的结点就是由Prime算法得到的最小生成树的结点，依照步骤2的结点连接这些顶点，得到的就是这个图的最小生成树。

　　

int prime()
{
    int id;
    int sum = 0;
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    vis[0] = true;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        dis[i] = E[0][i];    
    }
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        int mi = INF;
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            if(!vis[j] && dis[j] < mi){
                mi = dist[j];
                index = j;    
            }    
        }
        vis[id] = true;
        sum += mi;
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            if(!vis[j] && dis[j] > E[id][j]){
                dis[j] = E[id][j];
            }    
        }    
    } 
    return sum;    
}