treecnt 算法马拉松20（告别美国大选及卡斯特罗）

Posted 2020-08-21 SJY

treecnt

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给定一棵n个节点的树，从1到n标号。选择k个点，你需要选择一些边使得这k个点通过选择的边联通，目标是使得选择的边数最少。

现需要计算对于所有选择k个点的情况最小选择边数的总和为多少。

样例解释：

一共有三种可能:(下列配图蓝色点表示选择的点，红色边表示最优方案中的边)

选择点{1,2}:至少要选择第一条边使得1和2联通。

 

选择点{1,3}:至少要选择第二条边使得1和3联通。

 

选择点{2,3}:两条边都要选择才能使2和3联通。

 

Input

第一行两个数n，k(1<=k<=n<=100000)
接下来n-1行，每行两个数x,y描述一条边(1<=x,y<=n)

Output

一个数，答案对1,000,000,007取模。

Input示例

3 2
1 2
1 3

Output示例

4
思路：考虑每一条边的贡献。
一条边把一棵树分成两部分，当这条边有贡献时，k个点必然分布在这条边分隔开的两部分。
总情况数等于C（n,k）,设其中一部分点数为x，另一部分则为n-x，不合法情况数等于C（x,k）+C(n-x,k);然后要解决的就是咋去
找一条边两边点的个数，那么我们以某个点为根dfs找出各个点的子树的度，然后遍历每条边，那么当前两个点，度小的必然为另一个的子树，那么x就找出来了。
复杂度O(n);

  1 #include<stdio.h>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<iostream>
  4 #include<string.h>
  5 #include<math.h>
  6 #include<queue>
  7 #include<stdlib.h>
  8 #include<set>
  9 #include<vector>
 10 typedef long long LL;
 11 using namespace std;
 12 typedef struct node
 13 {
 14     int x;
 15     int y;
 16 } ss;
 17 ss ans[100005];
 18 vector<int>vec[100005];
 19 int cnt[100005];
 20 bool flag[100005];
 21 int dfs(int n);
 22 LL N[100005];
 23 const LL mod = 1e9+7;
 24 LL quick(LL n,LL m);
 25 int main(void)
 26 {
 27     int n,k,i;
 28     N[0] = 1;
 29     for(i = 1; i <= 100000; i++)
 30     {
 31         N[i] = N[i-1]*(LL)i%mod;
 32     }
 33     while(scanf("%d %d",&n,&k)!=EOF)
 34     {
 35         // int i;
 36         memset(cnt,0,sizeof(cnt));
 37         memset(flag,0,sizeof(flag));
 38         for(i = 0; i <= n; i++)
 39             vec[i].clear();
 40         for(i = 0; i < n-1; i++)
 41         {
 42             scanf("%d %d",&ans[i].x,&ans[i].y);
 43             vec[ans[i].x].push_back(ans[i].y);
 44             vec[ans[i].y].push_back(ans[i].x);
 45         }
 46         dfs(1);
 47         LL ni = N[n-k]*N[k]%mod;
 48         ni  = quick(ni,mod-2);
 49         LL sum = N[n]*ni%mod;
 50         sum = sum*(n-1)%mod;
 51         for(i = 0; i < n-1; i++)
 52         {
 53             int x = cnt[ans[i].x];
 54             int y = cnt[ans[i].y];
 55             int aa = min(x,y);
 56             int bb = n-aa;
 57             if(aa >= k)
 58             {
 59                 LL xx = N[aa-k]*N[k]%mod;
 60                 ni = quick(xx,mod-2);
 61                 ni = N[aa]*ni%mod;
 62                 sum = sum - ni;
 63                 sum = (sum%mod)+mod;
 64                 sum%=mod;
 65             }
 66             if(bb >= k)
 67             {
 68                 LL xx = N[bb-k]*N[k]%mod;
 69                 ni = quick(xx,mod-2);
 70                 ni = N[bb]*ni%mod; //printf("%lld\n",ni);
 71                 sum = sum - ni;
 72                 sum = (sum%mod)+mod;
 73                 sum%=mod;
 74             }
 75         }
 76         printf("%lld\n",sum);
 77     }
 78 }
 79 int dfs(int n)
 80 {
 81     flag[n] = true;
 82     int i;
 83     for(i = 0; i < vec[n].size(); i++)
 84     {
 85         int x = vec[n][i];
 86         if(!flag[x])
 87         {
 88             cnt[n]+=dfs(x);
 89         }
 90     }
 91     cnt[n]++;
 92     return cnt[n];
 93 }
 94 LL quick(LL n,LL m)
 95 {
 96     LL ask = 1;
 97     n%=mod;
 98     while(m)
 99     {
100         if(m&1)
101             ask = ask*n%mod;
102         n = n*n%mod;
103         m>>=1;
104     }
105     return ask;
106 }