统计机器学习理论：随机熵vc熵退火VC熵生长函数VC维定义理解

Posted 2020-08-21 宏斌PKUCIS

一、定义：

      有n个训练样本Z_n={z_i(x_i,y_i), i=1,2,...,n},定义N(Z_n)为函数集中的函数能对样本分类的数目。

       解释：x_i 代表特征向量如d维特征向量，y_i代表一个标记如0或1, 因此z_i就是对一个特征的标记，Z_n中有n个样本，可能的标记方式2ⁿ种，一种标记方式就生成一种样本集；

N(Z_n)为Z_n的标记空间中能被正确分类的标记数量。

      举例：在二维特征空间中，不共线的3个二维特征向量，其标记方式有2³=8种，每一种标记方式都能被指示函数集二维线性分类器正确分类，因此这3个特征组成的集合的N(Z₃)=8，如图1所示；但是共线的3个二维特征向量，其标记方式也有2³=8种，但只有两种方式能够被指示函数集二维线性分类器正确分类，因此这3个特征组成的集合的N(Z₃)=2，如图2所示。

图1：不共线的3个二维特征的8种标记都能够被二维线性分类器分类

图2：共线的3个二维特征的8种标记中有6种标记不能被二维线性分类器分类

      1、随机熵：指示函数集能够实现分类组合数的自然对数，称为函数集在样本上的随机熵，表示为H(Z_n)=lnN（Z_n）。

           显然对于二维线性分类器，图1中的三个特征样本集的随机熵H(Z₃)=lnN（Z₃）=ln2³=3ln2；图2中的三个特征样本集的随机熵为H(Z₃)=lnN（Z₃）=ln2=ln2；

      2、VC熵：n个样本的随机熵的期望值H(n)=E（lnN（Z_n））。

           显然对于二维线性分类器，三个特征样本集的VC熵为H(3)=1/2 x 3ln2 + 1/2 x ln2 =2ln2;

      3、退火的VC熵：H_ann(n)=ln E（N（Z_n））。

           显然对于二维线性分类器，三个特征样本集的VC熵为H_ann(3)=ln（1/2 x 8 + 1/2 x 2） =ln5;

      4、生长函数：函数集的最大随机熵，G(n)=ln max_ZnN（Z_n）。

           显然对于二维线性分类器，三个特征样本集的生长函数为G(3)=3ln2;

       5、打散：在由n个特征组成的集合中（这种集合无限多），只要存在一种集合，它的所有2ⁿ种记方式都能够被标记函数集分类，那么就称n个特征构成的样本集能够被该标记函数集打散。

           显然3个二维特征构成的样本集能够被二维线性分类器打散，因为3个二维特征存在一种不共线的情况，它的8终标记方式能够被二维线性分类器正确分类。

       6、VC维：指示函数集能打散的最大样本数。

            显示对于二维线性分类器，3个特征的样本集是能够被打散的，但是4个特征的样本集不能够被打散，因为4个特征构成的所有特征集中，任何一个特征集都不存在2⁴=16种标记方式能被正确分类，即对于所有的N（Z₄）< 16。因此二维线性分类器的VC维是3。

二、性质

       1、三者之间关系：H(n) <= H_ann(n)<= G(n)<=nln2；（证明忽略，以二维线性分类器为例理解）

       2、标记函数集的生长函数或者与样本数成正比，即G(n)=nln2，或者以样本数的某个对数函数维上界，即G(n)<=h*(ln(n/h) + 1), n>h,h是VC维。（证明忽略，以二维线性分类器为例理解）

       3、d维空间中的N个样本线性可分的数目，即N(Z_n)=D（n,d）=2ⁿ，当 n<=d 时；N(Z_n)=D（n,d）=2n2（sigma{C（n-1，i）}，i=0,...,d）,当n>d时。sigma以为是从i=0到i=d对组合数C（n-1，i）累加。

       4、从性质2中，可以看出随着样本数目增加，生长函数G(n)不是线性增加的。