牛顿迭代法 求方程根

Posted 2020-08-21 SeeKHit

牛顿迭代法

 

 

牛顿迭代法（Newton\'s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上*似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的*似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附*具有*方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

 

计算公式

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始*似值，过点（x0,f(x0））做曲线y = f(x）的切线L，L的方程为y = f(x0)+f\'(x0)(x-x0），求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f\'(x0），称x1为r的一次*似值。过点（x1,f(x1））做曲线y = f(x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1）/f\'(x1），称x2为r的二次*似值。重复以上过程，得r的*似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f\'(x(n)），称为r的n+1次*似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种*似方法。把f(x）在x0点附*展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f\'(x0)+(x－x0)^2*f\'\'(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的*似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f\'(x0)(x－x0)=0 设f\'(x0）≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f\'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f\'(x(n)）。

已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻*区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有*方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

 

例题：华为OJ

求解立方根

题目描述

•计算一个数字的立方根，不使用库函数

详细描述：

•接口说明

原型：

public static double getCubeRoot(double input)

输入:double 待求解参数

返回值:double  输入参数的立方根

 

输入描述:

待求解参数 double类型

输出描述:

输入参数的立方根 也是double类型

输入例子:

216

输出例子:

6.0

 1 #include "iostream"
 2 #include "string"
 3 #include "vector"
 4 #include "algorithm"
 5 #define E 0.005
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 double getCubeRoot(double num)
10 {
11     double x0, x1;
12     x0 = num;
13     x1 = x0 - (x0*x0*x0 - num) / (2 * x0*x0);
14     while (x1 - x0 > E || x1 - x0 < -E)
15     {
16         x0 = x1;
17         x1 = x0 - (x0*x0*x0 - num) / (2 * x0*x0);
18 
19     }
20     return x1;
21 
22 }
23 
24 int main()
25 {
26     double n;
27     cin >> n;
28     cout<<getCubeRoot(n);
29 
30 }