n皇后问题

Posted 2020-08-21 JackGo

问题：
　　如何能够在 n×n 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

分析：
　　我们可以用一串数字来表示问题的解，比如[2,4,1,3] 表示 4×4 棋盘的4皇后问题的解，第一行的棋子摆在第2列；第二行的棋子摆在第4列，依此类推
　　这里将用回溯法进行解题，可以看出，某一行的棋子摆了之后，棋子的那一列肯定不能再摆其他的棋子了，

　　所以解[x,x,x,……，x] 一定是 1-n 的一个全排列，

　　所以这里的解空间树我们选择排列树。

思路：
　　既然已经确定了要用排列树来作为问题的解空间树，接下来要确定的就是剪枝函数了。

　　剪枝函数只要从已经摆好的棋子的第一个开始遍历，依此判断下面的棋子是否在其攻击范围内即可，

　　因为我们之前没有在同一行摆多个棋子，也没有在同一列摆多个棋子，所以只要判断其他棋子是否在其斜线上的攻击范围即可，比如

　　　　　　

　　第一行的棋子摆在第3列上，只要沿图中方向判断即可

　　　　

for (int i = 1; i <= n-1; i++)
    {
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)
        {
            int left = -(j - i);//向左的斜线
            int right = (j - i);//向右的斜线
            if (pieces[j] == pieces[i] + left||pieces[j] == pieces[i] + right)
            {//第i行皇后和第j行皇后会互相攻击
                return false;
            }
        }
    }

代码：

　　这样摆好所有棋子后即可输出，代码如下：

　　

#include<iostream>
#include<ctime>
using namespace std;

bool isOK(int n, int pieces[])
{    //剪枝函数
    //判断当前状态是否合理，即皇后会不会互相攻击
    for (int i = 1; i <= n-1; i++)
    {
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)
        {
            int left = -(j - i);//向左的斜线
            int right = (j - i);//向右的斜线
            if (pieces[j] == pieces[i] + left||pieces[j] == pieces[i] + right)
            {//第i行皇后和第j行皇后会互相攻击
                return false;
            }
        }
    }
    //所有皇后都不会互相攻击
    return true;
}

void swap(int &a, int &b)
{
    int t = a;
    a = b;
    b = t;
}

void nQueen(int n, int t, int pieces[])
{
    if (t > n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j < pieces[i]; j++)
                cout << "- ";
            cout << pieces[i]<<" ";
            for (int j = pieces[i] + 1; j <= n; j++)
                cout << "- ";
            cout << endl;
        }
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (int i = t; i <= n; i++)
        {
            swap(pieces[t], pieces[i]);
            if (isOK(t, pieces))
            {
                nQueen(n, t + 1, pieces);
            }
            swap(pieces[t], pieces[i]);
        }
    }
}

void main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int *pieces = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        pieces[i] = i;
    }
    nQueen(n, 1, pieces);
    cout << "OK" << endl;
    system("pause");
}