1028：Ignatius and the Princess III

Posted 2020-08-21 猪妹

本题应该有两种方法：

1.母函数法

2.递推法

母函数不了解，待充分了解之后，再进行补充！

这里为递推实现的方法：

思路：

定义：n为要拆分的整数；

　　　k为拆分的项数；

　　　f[n][k]代表 n的整数拆分中，最大项不超过k的方案数。

　　每一个整数n的拆分中，总有一项拆分为自己，即：n = n; 我们将其表示为f[n][1]，而且f[n][1] = 1;

　　又，每一个整数n的拆分中，总有一项拆分为n个1，即：n = 1 + 1 + ...... + 1(n个1的加和); 我们将其表示为f[0][0],且f[0][0] = 1;(注：n = 1时除外)。

所以：

  1 = 1;

  f[1][1] = 1;

  2 = 2;
  2 = 1 + 1;

  f[2][2] = f[0][0] + f[2][1] = 2;

  n = 3时，

  3 = 3;
  3 = 2 + 1;//3 = (1+ 1) + 1；
  3 = 1 + 1 + 1;

  f[3][1] = 1;

  f[3][2] = 拆分为两项的 数目 + 拆分为一项的 数目 = f[1][1] + f[3][1]; 之所以用f[1][1]在此表示，是因为分成两项时，以1+1作为基底数，然后向上加数，能加的数只有1，加到哪一项上都是一样的，所以就相当于f[1][1]的效果。

  同理，n = 4时，

  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;

  像:f[4][2] = f[2][2] + f[4][1];

  所以，结论就是：

  对于任意满足条件的拆分，最大项要么达到k这个限制，要么小于它，因此f(n, k) = f(n-k, k) + f(n, k - 1)。

  边界条件：f(n, 1) = 1, f(0, 0) = 1, f(1, 1) = 1， 另外，f(n, k) = f(n, n),如果k大于n的话。

实现代码：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int MAX = 125;
 5 int f[MAX][MAX] = {0};
 6 void Init()
 7 {
 8     f[0][0] = 1;
 9     for(int i = 1;i<MAX;i++)
10         f[i][1] = 1;
11     for(int n = 2;n<MAX;n++)
12     {
13         for(int k = 2;k<=n;k++)
14         {
15             int j;
16             if(n-k<k)
17                 j = n-k;
18             else
19                 j = k;
20             f[n][k] = f[n-k][j] + f[n][k-1];
21         }
22     }
23 }
24 int main()
25 {
26     Init();
27     int n;
28     while(cin>>n)
29     {
30         cout<<f[n][n]<<endl;
31     }
32     return 0;
33 }

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