转 母函数

Posted 2020-08-20 LuZhiyuan

在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

 母函数的作用：

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”

2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. 

刚好(a1 a2)的组合数目就是x2的系数(取x2的数目有多少个)

这里X的指数(比如X3，3)，表示所有元素的三种取值的数目，因为都是1+x形系数都是为1，至于1的含义（就是取与不取1*x0+1*x3）；

所以一下题，邮票可重复取n,如果只取1枚，则就如上面天平问题

(1+x+x2+x3+,,,+xn)

(1+x2+x4+x6+,,,+x2n)

(1+x3+x6+x9+,,,+x3n)

我们首先来看下这个多项式乘法： 

由此可以看出:

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。

2. x²的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………

n. xⁿ的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。

母函数的定义

对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
 
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。 

第一种：

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

考虑用母函数来解决这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

1个2克的砝码可以用函数1+x²表示，

1个3克的砝码可以用函数1+x³表示，

1个4克的砝码可以用函数1+x⁴表示，

上面这四个式子懂吗？

我们拿1+x²来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）

不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：

“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来“

 

1+x²表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x²表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义：

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x²(想下为何？结合数学式子)。

 

所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)

=(1+x+x²+x³)(1+x³+x⁴+x⁷)

=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

例如右端有2x⁵ 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 

 

第二种：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

 

母函数图(4)

 

以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

 

这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数"：

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

转自：http://www.wutianqi.com/?p=596