离散数学笔记，基础数学分支

Posted 2020-08-20 stupid_one

1、给定n个数字，要求选出3个数，其和为3的倍数。

思路，分类，把每个数字%3后，0、1、2、的分成三类，然后按类计算。

①、三个数来自同一个类，②、来自0、1、2各一类。

 

2、将r个相同的球放到n个不同的盒子里面，盒子的球数不限，求方案数。

将r个球用0表示，就是000000....000，然后分成n份，所以需要插上n - 1刀，所以就是r + n - 1长度的01串中，其中1的个数是n - 1个，求有多少种。就是C(n + r - 1, n - 1)。比如分成两份，如果是100的话，就是第一份个数是0，第二份个数是2.

这题也可以这样想，用xi 表示第i个盒子中的球数，其中xi >= 0。所以就是x1 + x2 + x3 + .... + xn = r的解的个数。思路和上面一样。

 

3、求解x1 + x2 + x3 + x4 = 10的个数，其中xi >= ai

每个数都有权值了，但是明显可以把每个数都减去自身的权值，又回到xi >= 0的解法。

 

4、求解x1 + x2 + x3 + x4 <= 10。其中xi >= ai

由于是小于等于，那么可以去掉权重后，加多一个辅助变量x5

变成x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10的解的方案数。为什么呢？

比如1 + 1 + 1 + 1 = 4 < 10是成立的，然后剩下的就相当于给x5了，x5 = 6，然后就是相加等于10的方案数。

 

变形一下：在一排有20本书的书架上，选出6本书，要求这6本书不能相邻，求方案数。

设xi表示第i本书与上一本书的间隔书的数目，为了满足条件。x1 >= 1， 其他xi >= 2。

那么就是要x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= 20

 

5、count how many hello world

for (int i = 1; i <= n; ++i) 

　　for (int j = 1; j <= i; ++j) 

　　　　for (int k = 1; k <= j; ++k)

　　　　　　cout << "hello world" << endl;

输出运行了多少次hello world

考虑大小关系，n >= i >= j >= k >= 1

①、如果i和j和k不能相等，那么就是在1、2、3、4、5、6、7....n里，选3个数出来就好了C(n, 3)

但是这里可以相等。