棋盘分割(记忆化搜索)

Posted 2020-06-14

棋盘分割

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Problem Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。  均方差 ，其中平均值 xi为第i块矩形棋盘的总分。  请编程对给出的棋盘及n，求出O‘的最小值。 

 

 

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。  第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

 

 

Output

仅一个数，为O‘（四舍五入精确到小数点后三位）。

 

 

Sample Input

3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 3

 

 

Sample Output

1.633

 

题解：

re了半天，知道真相的我眼泪流了下来，TMD，步数是15，我开的是10；

记忆化搜索，dp[x1][y1][x2][y2]代表到这个矩形状态的最小s[i]平方和；

下面是大神的详细解释：

n刀切割棋盘

下面是8*8的棋盘，每个数字代表棋盘对应点的权值，问切割n刀后，每一块的和  的均方差最小是多少

均方差的公式需要先化简： 

由上式得，均方差最小 显然是要 Xi^2 最小

 

d[k][x1][y1][x2][y2]代表棋盘从(x1,y1)->(x2,y2)已经切了k刀 获得的最小的平方和

用sum[i][j] 代表 从(1,1)点 到 (i,j)点的权值和

这样答案就是 dp[n][1][1][8][8]/n  -(sum[8][8]/n)^2

用S[ (x1,y1) ,( x2,y2) ] 代表 这两点间的权值和

这里用递归dp

状态转移方程：

d[k][x1][y1][x2][y2]=

Min{  横向切： d[k-1] +剩下未切部分的平方和，纵向切：d[k-1]+剩下未切部分的平方和  }

横向切的最优解就是 Min{ d[ k-1,(x1,y1) , ( i ,y2) ] + S[ (i +1,y1) , ( x2 ,y2) ] ,  d[ k-1,(i+1,y1) , ( x2 ,y2) ] + S[ (x1,y1) , ( i ,y2) ] }  ( x1<= i <x2)

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int INF=0x3fffffff;
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define SI(x) scanf("%d",&x)
#define PI(x) printf("%d",x)
#define SD(x) scanf("%lf",&x)
#define P_ printf(" ")
typedef long long LL;
const int MAXN=10;
double dp[20][MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];//卧槽 
int s[MAXN][MAXN];
double ss[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];
double SUM(int x1,int y1,int x2,int y2){
    if(ss[x1][y1][x2][y2]>=0)return ss[x1][y1][x2][y2];
    int temp=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];
    return ss[x1][y1][x2][y2]=temp*temp;
}
double dfs(int k,int x1,int y1,int x2,int y2){
    if(k==1){
        dp[k][x1][y1][x2][y2]=SUM(x1,y1,x2,y2);
        return dp[k][x1][y1][x2][y2];
    }
    if(dp[k][x1][y1][x2][y2]>=0)return dp[k][x1][y1][x2][y2];
    double  temp = 99999999999;
    for(int i=x1;i<x2;i++){
        temp=min(temp,SUM(x1,y1,i,y2)+dfs(k-1,i+1,y1,x2,y2));
        temp=min(temp,SUM(i+1,y1,x2,y2)+dfs(k-1,x1,y1,i,y2));
    }
    for(int i=y1;i<y2;i++){
        temp=min(temp,SUM(x1,i+1,x2,y2)+dfs(k-1,x1,y1,x2,i));
        temp=min(temp,SUM(x1,y1,x2,i)+dfs(k-1,x1,i+1,x2,y2));
    }
    return dp[k][x1][y1][x2][y2]=temp;
}
int main(){
    int N;
    while(~SI(N)){
        int temp;
        mem(ss,-1);mem(s,0);mem(dp,-1);
        for(int i=1;i<=8;i++){
            for(int j=1;j<=8;j++){
                scanf("%d",&temp);
                s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+temp;
            }
        }
        double ave=s[8][8]*1.0/N;
        double ans=dfs(N,1,1,8,8);
        //printf("%lf %d %lf\n",ans,s[8][8],ave);
        printf("%.3lf\n",sqrt(ans*1.0/N-ave*ave));
    }
    return 0;
}