[haoi2010]计数

Posted 2020-08-19 CHADLZX

你有一组非零数字（不一定唯一），你可以在其中插入任意个0，这样就可以产生无限个数。比如说给定{1,2},那么可以生成数字12,21,102,120,201,210,1002,10200,等等。
现在给定一个数，问在这个数之前有多少个数。（注意这个数不会有前导0）。

 

基础数位dp之一；

普通dp思路：

首先想到设状态，怎么设呢？设的状态肯定要把前面用了多少数表示出来，按照这个思路就只能设f[i][j]表示在第i位，j是所有非0数字的二进制表示；

然后可以记忆化搜索进行转移；

这个方法可以过（HA的数据太水），但数据稍稍加强一下，时空全炸；

AC思路：

其实每个数都是原数的一个组合，那么我们自然可以用排列组合的方法计算；

思路还是逐位确定，从高位向低位确定数字，然后对下面的不确定的数进行排列组合，结果累积；

无论是空间还是时间都到了最优的程度；

第一种思路：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 #include<ctime>
 7 #include<iomanip>
 8 #include<queue>
 9 #include<map>
10 #include<set>
11 #include<algorithm>
12 using namespace std;
13 #define FILE "dealing"
14 #define LL long long
15 #define up(i,j,n) for(int i=(j);i<=(n);i++)
16 void chkmin(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
17 void chkmax(int &a,int b){a<b?a=b:0;}
18 namespace IO{
19     char buf[1<<15],*fs,*ft;
20     int gc(){return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1<<15,1,stdin),fs==ft))?-1:*fs++;}
21     int read(){
22         int x=0,f=0,ch=gc();
23         while(ch<\'0\'||ch>\'9\'){if(ch==\'-\')f=1;ch=gc();}
24         while(ch>=\'0\'&&ch<=\'9\'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-\'0\';ch=gc();}
25         return f?-x:x;
26     }
27 }using namespace IO;
28 const int maxn=150;
29 int q[maxn],tail=0,pre[maxn];
30 char s[maxn],ch[maxn];
31 LL f[51][100000];
32 LL dfs(int pos,int num,int limit){
33     if(pos<1)
34         return num==0;
35     if(!limit&&f[pos][num]!=-1)return f[pos][num];
36     int len=limit?s[pos]:9;
37     LL ret=0;
38     ret+=dfs(pos-1,num,limit&&0==len);
39     up(i,1,len){
40         if(pre[i]==-1)continue;
41         up(j,pre[i],tail){
42             if(q[j]==i&&(num&(1<<j-1))){
43                 ret+=dfs(pos-1,num^(1<<j-1),limit&&i==len);
44                 break;
45             }
46         }
47     }
48     if(!limit)f[pos][num]=ret;
49     return ret;
50 }
51 int main(){
52     freopen(FILE".in","r",stdin);
53     freopen(FILE".out","w",stdout);
54     scanf("%s",ch+1);
55     int len=strlen(ch+1);
56     up(i,1,len)s[i]=ch[len-i+1]-\'0\';
57     up(i,1,len)if(s[i])
58         q[++tail]=s[i];
59     sort(q+1,q+tail+1);
60     memset(pre,-1,sizeof(pre));
61     up(i,1,tail)
62         if(pre[q[i]]==-1)pre[q[i]]=i;
63     memset(f,-1,sizeof(f));
64     printf("%I64d\\n",dfs(len,(1<<tail)-1,1)-1);
65     return 0;
66 }

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第二种思路：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 #include<ctime>
 7 #include<iomanip>
 8 #include<queue>
 9 #include<map>
10 #include<set>
11 #include<algorithm>
12 using namespace std;
13 #define FILE "dealing"
14 #define LL long long
15 #define up(i,j,n) for(int i=(j);i<=(n);i++)
16 void chkmin(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
17 void chkmax(int &a,int b){a<b?a=b:0;}
18 namespace IO{
19     char buf[1<<15],*fs,*ft;
20     int gc(){return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1<<15,1,stdin),fs==ft))?-1:*fs++;}
21     int read(){
22         int x=0,f=0,ch=gc();
23         while(ch<\'0\'||ch>\'9\'){if(ch==\'-\')f=1;ch=gc();}
24         while(ch>=\'0\'&&ch<=\'9\'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-\'0\';ch=gc();}
25         return f?-x:x;
26     }
27 }using namespace IO;
28 const int maxn=52;
29 char s[maxn];
30 int a[10],len;
31 LL fac[30],c[maxn][maxn];
32 int main(){
33     freopen(FILE".in","r",stdin);
34     freopen(FILE".out","w",stdout);
35     c[0][0]=1;
36     for(int i=1;i<=50;i++){
37         c[i][0]=1;
38         for(int j=1;j<=50;j++)c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
39     }
40     scanf("%s",s+1);
41     len=strlen(s+1);
42     up(i,1,len)a[s[i]-\'0\']++;
43     LL ans=0;
44     for(int i=1;i<=len;i++){
45         for(int j=0;j<s[i]-\'0\';j++){
46             if(!a[j])continue;
47             a[j]--;
48             int now=len-i;
49             LL sum=1;
50             for(int k=0;k<=9;k++)
51                 sum*=c[now][a[k]],now-=a[k];
52             ans+=sum;
53             a[j]++;
54         }
55         a[s[i]-\'0\']--;
56     }
57     cout<<ans<<endl;
58     return 0;
59 }

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