bellman-ford算法为啥要执行v-1次

Posted 2023-03-19

参考技术A 简单来说就是从源点到一个点的最短路最极限的一种情况的路径需要经过全部的点，也就是需要松弛v-1次，这样，我们执行v-1次就可以保证所有的点都松弛到最佳的情况，如果执行了v-1次后还能继续松弛，那就说明图中有负权环，无解。 参考技术B Bellman-ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码很容易写。即进行持续地松弛（原文是这么写的，为什么要叫松弛，争议很大），每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，无法得出结果

Bellman-Ford算法——为什么要循环V-1次？图有n个点，又不能有回路，所以最短路径最多n-1边。又因为每次循环，至少relax一边所以最多n-1次就行了！

单源最短路径

给定一个图,和一个源顶点src,找到从src到其它所有所有顶点的最短路径，图中可能含有负权值的边。

Dijksra的算法是一个贪婪算法,时间复杂度是O(VLogV)(使用最小堆)。但是迪杰斯特拉算法在有负权值边的图中不适用,Bellman-Ford适合这样的图。在网络路由中，该算法会被用作距离向量路由算法。Bellman-Ford也比迪杰斯特拉算法更简单。但Bellman-Ford的时间复杂度是O(VE),这要比迪杰斯特拉算法慢。（V为顶点的个数,E为边的个数）

算法描述

输入:图 和 源顶点
输出:从src到所有顶点的最短距离。如果有负权回路(不是负权值的边),则不计算该最短距离，没有意义，因为可以穿越负权回路任意次，则最终为负无穷。

算法步骤

1.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ← +∞, dist[s] ←0;
2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。

关于该算法的证明也比较简单，采用反证法，具体参考：http://courses.csail.mit.edu/6.006/spring11/lectures/lec15.pdf
该算法是利用动态规划的思想。该算法以自底向上的方式计算最短路径。
它首先计算最多一条边时的最短路径(对于所有顶点)。然后,计算最多两条边时的最短路径。外层循环需要执行|V|-1次。

例子

一下面的有向图为例：给定源顶点是0，初始化源顶点距离所有的顶点都是是无穷大的,除了源顶点本身。因为有5个顶点，因此所有的边需要处理4次。

按照以下的顺序处理所有的边：(B,E), (D,B), (B,D), (A,B), (A,C), (D,C), (B,C), (E,D).
第一次迭代得到如下的结果(第一行为初始化情况,最后一行为最终结果)：

当 (B,E), (D,B), (B,D) 和 (A,B) 处理完后，得到的是第二行的结果。
当 (A,C) 处理完后，得到的是第三行的结果。
当 (D,C), (B,C) 和 (E,D) 处理完后，得到第四行的结果。

第一次迭代保证给所有最短路径最多只有1条边。当所有的边被第二次处理后，得到如下的结果(最后一行为最终结果)：

第二次迭代保证给所有最短路径最多只有2条边。我们还需要2次迭代(即所谓的松弛操作)，就可以得到最终结果。

 

算法描述

1,.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ——>+∞, d[s]——>0;

2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

 

为什么要循环V-1次？
答：因为最短路径肯定是个简单路径，不可能包含回路的，如果包含回路，且回路的权值和为正的，那么去掉这个回路，可以得到更短的路径如果回路的权值是负的，那么肯定没有解了.图有n个点，又不能有回路，所以最短路径最多n-1边。又因为每次循环，至少relax一边所以最多n-1次就行了。

 

算法导论上的伪代码：

BELLMAN-FORD(G, w, s)
1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2  for i ← 1 to |V[G]| - 1
3       do for each edge (u, v) ∈ E[G]
4              do RELAX(u, v, w)
5  for each edge (u, v) ∈ E[G]
6       do if d[v] > d[u] + w(u, v)
7             then return FALSE
8  return TRUE