Floyd矩阵乘法BZOJ1706- [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

Posted 2020-08-19 Yiyi

【题目大意】

给出一张无向图，求出恰巧经过n条边的最短路。

【思路】

首先题目中只有100条边，却给出了10000个点（实际上最多只能有200个），离散化一下。

后面就是Floyd的新姿势，以前看过的集训队论文里面有:D

一开始的邻接矩阵是经过一条边的最短路，把这个邻接矩阵记作f[0]

f[1]=f[0]*f[0]=f[0]^2（这里的乘法是矩阵乘法），就可以表示恰巧经过两条边的啦。

f[2]=f[1]*f[0]=f[0]^3，恰巧表示经过两条边。

……

所以恰巧经过n条边的最短路是f[n-1]=f[0]^n。

矩阵快速幂一下就好啦。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int MAXM=200+5;
 5 const int MAXN=1000+50;
 6 const ll INF=1e16;
 7 struct node
 8 {
 9     ll dis[MAXM][MAXM];
10     
11 }f,result,origin;
12 int id[MAXN],cnt;
13 int n,t,s,e;
14 node operator * (node a,node b)
15 {
16     node c;
17     for (int i=1;i<=cnt;i++)
18         for (int j=1;j<=cnt;j++) c.dis[i][j]=INF;
19     for (int k=1;k<=cnt;k++)
20         for (int i=1;i<=cnt;i++)
21             for (int j=1;j<=cnt;j++)
22                 c.dis[i][j]=min(c.dis[i][j],a.dis[i][k]+b.dis[k][j]);
23     return c;
24 }
25 
26 int getnum(int x)
27 {
28     if (id[x]==-1) 
29     {
30         id[x]=++cnt;
31         return(cnt);
32     }
33     else return(id[x]);
34 }
35 
36 void init()
37 {
38     memset(id,-1,sizeof(id));
39     cnt=0;
40     scanf("%d%d%d%d",&n,&t,&s,&e);
41     memset(f.dis,0,sizeof(f.dis));
42     for (int i=1;i<=t;i++)
43     {
44         int u,v,w;
45         scanf("%d%d%d",&w,&u,&v);
46         u=getnum(u);
47         v=getnum(v);
48         f.dis[u][v]=f.dis[v][u]=w;
49     }
50     for (int i=1;i<=cnt;i++)
51         for (int j=1;j<=cnt;j++) if (!f.dis[i][j]) f.dis[i][j]=INF;
52 } 
53 
54 void solve()
55 {
56     int k=n-1;
57     result=f,origin=f;
58     while (k)
59     {
60         if (k&1) result=result*origin;
61         k>>=1;
62         origin=origin*origin;
63     }
64     printf("%lld",result.dis[id[s]][id[e]]); 
65 }
66 
67 int main()
68 {
69     init();
70     solve();
71     return 0;
72 }