HDU 5628 Clarke and math Dirichlet卷积+快速幂

Posted 2020-06-14

题意：bc round 72 中文题面

 

分析（官方题解）：

如果学过Dirichlet卷积的话知道这玩意就是g(n)=(f*1^k)(n),

由于有结合律，所以我们快速幂一下1^k就行了。

当然，强行正面刚和式也是能搞的（反正我不会）。

一次Dirichlet卷积复杂度是O(nlogn)的，所以总时间复杂度为O(nlognlogk).

 

注：普及Dirichlet卷积概念，设f,g为两个数论函数，

那么规定 (f∗g)=∑d|nf(d)g(n/d)为f,g的Dirichlet卷积

Dirichlet卷积有以下性质，有交换律和结合律，对加法有分配律
f∗(g∗h)=(f∗g)∗h
f∗(g+h)=f∗g+f∗h
f∗g=g∗f

 

然后对于这个题解上所说的一次Dirichlet卷积是O(nlogn)这个我不是很懂

但是看网上大神写的估计也差不多，感觉和埃氏筛的复杂度差不多甚至还要小应该是在O（nlognlogn)左右

所以下面的代码的复杂度大概应该是O(nlog^2nlogk)

 

然后顺带提一下，对于Dirichlet卷积来说，规定有一个幺元e的话

即：f*e=f,

这个幺元函数有一个性质e[1]=1,e[k]=0,k=1,2,3.....

这个在快速幂的时候会用到

 

然后上代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
const LL mod=1e9+7;
int n,k;
LL f[N],s[N],ans[N],tmp[N];
void solve()
{
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            for(int i=1; i<=n; ++i)tmp[i]=0;
            for(int i=1; i*i<=n; ++i)
            {
                tmp[i*i]=(tmp[i*i]+ans[i]*s[i])%mod;
                for(int j=i+1; j*i<=n; ++j)
                    tmp[i*j]+=(ans[i]*s[j]%mod+ans[j]*s[i]%mod)%mod,tmp[i*j]%=mod;
            }
            for(int i=1; i<=n; ++i)ans[i]=tmp[i];
        }
        for(int i=1; i<=n; ++i)tmp[i]=0;
        for(int i=1; i*i<=n; ++i)
        {
            tmp[i*i]=(tmp[i*i]+s[i]*s[i])%mod;
            for(int j=i+1; j*i<=n; ++j)
                tmp[i*j]+=(s[i]*s[j]%mod+s[j]*s[i]%mod)%mod,tmp[i*j]%=mod;
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=tmp[i];
        k>>=1;
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i)tmp[i]=0;
    for(int i=1; i*i<=n; ++i)
    {
        tmp[i*i]=(tmp[i*i]+f[i]*ans[i])%mod;
        for(int j=i+1; j*i<=n; ++j)
            tmp[i*j]+=(f[i]*ans[j]%mod+f[j]*ans[i]%mod)%mod,tmp[i*j]%=mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)ans[i]=tmp[i];
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            scanf("%I64d",&f[i]),s[i] = 1,ans[i] = 0;
        ans[1] = 1;
        solve();
        for(int i=1; i<n; ++i)
            printf("%I64d ",ans[i]);
        printf("%I64d\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}

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