Miller_Rabin素数测试

Posted 2020-08-19 pb2016

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 
 8 long long mul(long long a,long long n,long long mo){
 9     long long ans=0;
10     while (n){
11         if (n&1) ans=(ans+a)%mo;
12         a=(a+a)%mo;
13         n/=2;
14     }
15     return ans;
16 }
17 
18 long long pow(long long a,long long n,long long mo){
19     long long ans=1;
20     while (n){
21         if (n&1) ans=mul(ans,a,mo);
22         a=mul(a,a,mo);
23         n/=2;
24     }
25     return ans;
26 }
27 
28 bool Miller_Rabin(long long n){
29     if (n<=2){
30         if (n==2) return true;
31         else return false;
32     }
33     if (n%2==0) return false;
34     long long u=n-1;
35     while (u%2==0){
36         u/=2;
37     }
38     int t=1e2;
39     while (t--){
40         long long a=(rand()%(n-2))+2;
41         long long x=pow(a,u,n);
42         long long w=u*2;
43         long long y=mul(x,x,n);
44         while (w<n){
45             if (y==1&&x!=1&&x!=(n-1)) return false;
46             x=y;
47             y=mul(y,y,n);
48             w*=2;
49         }
50         if (x!=1) return false;
51     }
52     return true;
53 }
54 
55 int main(){
56    int t;
57    scanf("%d",&t);
58    while (t--){
59         long long n;
60         scanf("%lld",&n);
61         if (Miller_Rabin(n)) printf("Yes\n");
62         else printf("No\n");
63    }
64 
65 }

费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。
将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。

否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次，如果每次结果都是1，我们就假定n是质数。

该测试被称为Fermat测试。需要注意的是：Fermat测试不一定是准确的，有可能出现把合数误判为质数的情况。

Miller和Rabin在Fermat测试上，建立了Miller-Rabin质数测试算法。

 

与Fermat测试相比，增加了一个二次探测定理：

如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，另u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。