Miller_Rabin素数测试

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Miller_Rabin素数测试相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 
 8 long long mul(long long a,long long n,long long mo){
 9     long long ans=0;
10     while (n){
11         if (n&1) ans=(ans+a)%mo;
12         a=(a+a)%mo;
13         n/=2;
14     }
15     return ans;
16 }
17 
18 long long pow(long long a,long long n,long long mo){
19     long long ans=1;
20     while (n){
21         if (n&1) ans=mul(ans,a,mo);
22         a=mul(a,a,mo);
23         n/=2;
24     }
25     return ans;
26 }
27 
28 bool Miller_Rabin(long long n){
29     if (n<=2){
30         if (n==2) return true;
31         else return false;
32     }
33     if (n%2==0) return false;
34     long long u=n-1;
35     while (u%2==0){
36         u/=2;
37     }
38     int t=1e2;
39     while (t--){
40         long long a=(rand()%(n-2))+2;
41         long long x=pow(a,u,n);
42         long long w=u*2;
43         long long y=mul(x,x,n);
44         while (w<n){
45             if (y==1&&x!=1&&x!=(n-1)) return false;
46             x=y;
47             y=mul(y,y,n);
48             w*=2;
49         }
50         if (x!=1) return false;
51     }
52     return true;
53 }
54 
55 int main(){
56    int t;
57    scanf("%d",&t);
58    while (t--){
59         long long n;
60         scanf("%lld",&n);
61         if (Miller_Rabin(n)) printf("Yes\n");
62         else printf("No\n");
63    }
64 
65 }
费马小定理:对于质数p和任意整数a,有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之,若满足a^p ≡ a(mod p),p也有很大概率为质数。
将两边同时约去一个a,则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

也即是说:假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a,然后计算a^(n-1) mod n,如果结果不为1,我们可以100%断定n不是质数。

否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次,如果每次结果都是1,我们就假定n是质数。

该测试被称为Fermat测试。需要注意的是:Fermat测试不一定是准确的,有可能出现把合数误判为质数的情况。

Miller和Rabin在Fermat测试上,建立了Miller-Rabin质数测试算法。

 

与Fermat测试相比,增加了一个二次探测定理:

如果p是奇素数,则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立,Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试,而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数,另u=(n-1)/2,并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

举个Matrix67 Blog上的例子,假设n=341,我们选取的a=2。则第一次测试时,2^340 mod 341=1。由于340是偶数,因此我们检查2^170,得到2^170 mod 341=1,满足二次探测定理。同时由于170还是偶数,因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理,因此可以判定341不为质数。

以上是关于Miller_Rabin素数测试的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

Miller_Rabin(米勒拉宾)素数测试

随机素数测试(Miller_Rabin算法)和求整数素因子(Pollard_rho算法)

素数判定Miller_Rabin 算法详解

数论Miller_Rabin

Miller_Rabin codevs 1702 素数判定2

10^9以上素数判定,Miller_Rabin算法