计算机为什么采用补码来进行运算

Posted 2020-06-14

基础知识了解：

　　在计算机内，整数的长度是确定的，在字长为32位的计算机中，整数的长度就是32个二进制，这其中还包括了符号位（1表示正，0表示负）。这里面我们为了方便描述，就假设机器字长为8位。

例如，十进制整数23，二进制真值表示为10111，其原码表示为 0001 0111。

十进制整数-23，二进制真值表示为-10111，原码表示为 1001 0111。

简而言之，源码就是最高位为符号位，其他位表示该数的绝对值

如果计算机内部采用原码表示数，那么在进行加法和减法运算的时候，最终都转化为两个绝对值的加运算和减运算，因此，在设计计算器的时候就既需要设计加法运算器，又要设计减法运算器(代价有点大，是否可以就用一种类型的运算器呢？ 其实大多数人都喜欢做加法运算，不太喜欢用减法运算)。

补码的思想

　　我们希望只设计加法运算器，不用减法运算器，我们希望找到一种方案，采用这种方案做加运算 1 + ( -1 ) ，两个数可以直接根据二进制的加法规则做运算，得到0，而不必做减法。

用 0000 0000表示0是很自然的想法，用 0000 0001到 0111 1111表示1到127的正数，也是自然的想法，此时，最高位的0可以做符号标识，也可以看成普通的二进制位。

现在问题是：怎么表示-1呢？

我们做一次逆向思维，0000 0001加上什么样的二进制数可以得到0000 0000？即：从右向左思考，加数的最右边的最低位必须是1，根据二进制加法规则：1+1=0，进位为1。再考虑次低位，加数的次低位也必须是1，然后加上1得0进一位，...依次类推，加数的8为都必须是1，才可以得到8个0。问题是最后产生一个进位，即：0000 0001 + （1111 1111）= 1 0000 0000

这在数学上是不可接受的，但是在计算机中去刚好合适，因为在设计中，每个数的长度是确定的，所以无论结果最后是多少，都只保留8位，多余的位会被丢弃。因此，我们可以将 1111 1111来表示-1，下面就是采用一种方式来合理的将-1怎么变成 1111 1111这种形式。

　　

　补码的定义：

　　带符号整数有原码、反码、补码等几种编码方式。原码即直接将真值转换為其相应的二进制形式，而反码和补码是对原码进行某种转换编码方式。正整数的原码、反码和补码都一样，负数的反码是对原码的除符号位外的其他位进行取反后的结果（取反即如果该位為0则变為1而该位為1则变為0操作）而补码是先求原码的反码，然后在反码的末尾位加1后得到结果，即补码是反码+1
补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。
以-8作为例子。假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？
随便写一个计算式，16 + (-8) = ?
　　16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：

　　　　０００１００００
  　　 [phone]
  　　  －－－－－－－－－
　　　   １００１１０００

　　可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。
现在，再来看2的补码表示法。

　　　　０００１００００
　　　[phone]
　　　－－－－－－－－－
　　　１００００１０００

　　可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

补码的本质：

要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。
已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

　　００００００００
  － ００００１０００
    －－－－－－－－－

因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。
所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：

　　１００００００００
　　－００００１０００
　　－－－－－－－－－
　　　１１１１１０００
进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：
　　　１１１１１１１１
　　－００００１０００
　　－－－－－－－－－
　　　１１１１０１１１
　　＋０００００００１
　　－－－－－－－－－
　　　１１１１１０００
补码的两个转换步骤就是这么来的。（其中的 1111 1000 就是-8的补码，是由对 000 1000 取反得到111 0111 加1 最终得到 111 1000，最后加上符号位1就是1111 1000）。这就是补码计算规则的由来。