usaco No Change, 2013 Nov 不找零（二分查找+状压dp）

Posted 2020-08-19

Description

约翰带着 N 头奶牛在超市买东西，现在他们正在排队付钱，排在第 i 个位置的奶牛需要支付 Ci 元。今天说好所有东西都是约翰请客的，但直到付账的时候，约翰才意识到自己没带钱，身上只有 K 张消费卡，第 i 张卡里有 Vi 元余额。

问题是，这些消费卡都是一次性的，它们可以被收银机读取，但如果卡一旦离开了收银机，卡里 的余额就会归零，而且超市也不负责找零！奶牛的队伍很长，不可能再调整她们的位置了，所以一张 卡只能支付一段连在一起的账单。而且，一张账单只能用一张消费卡支付，超市的系统不接受用两张 或以上的卡支付一笔账单。

约翰的问题就是按照什么样的顺序来使用这些消费卡，才能让他能为所有的奶牛买单，而且使得 剩余的消费卡的余额之和最大呢？

Input Format

? 第一行：两个整数 K 和 N ，1 ≤ K ≤ 16, 1 ≤ N ≤ 10^5

? 第二行到第 K + 1 行：第 i + 1 行有一个整数 Vi，1 ≤ Vi ≤ 10^9

? 第 K + 2 行到第 K + N + 1 行：第 i + K + 1 行有一个整数 Ci，1 ≤ Ci ≤ 10^4

Output Format

单个整数：表示约翰买完所有奶牛的单之后，最多还能剩多少余额，如果他带的卡根本没有办 法支付所有的账单，输出 ?1。

Sample Input

3 6
12
15
10
6
3
3
2
3
7

Sample Output

12
解释
用 10 元的卡支付前两笔账单，然后用 15 元
的卡支付后面所有的账单，还剩下一张 12 元的卡
没用

Hint

 

Source

No Change, 2013 Nov
我们要维护两个值；
f[i]是到i这个消费卡的使用状态最多能付多少奶牛的账单；
g[i]是在f[i]最大前提下剩余的最多余额；
由于在转移过程中要快速查找当前消费卡从当前位置开始能支付的最长序列；
所以加上二分查找 T（(1<<k)logn）
设c为当前消费卡从当前位置开始能支付的最长序列的终点；
那么就有以下方程

　　if(c>f[i]||(c==f[i]&g[i-(1<<j-1)]-w[j]>g[i]))
　　f[i]=c,g[i]=g[i-(1<<j-1)]-w[j];

　

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[100010],g[1<<16],f[1<<16],w[20],ans=-1;
int i,j,n,k,inf,l,r,mid;
int find(int st,int x)
{
	l=st;r=n+1;a[n+1]=1e9;
	int ans;
	while(l+1<r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if(a[mid]-a[st]>x)r=mid;
		else l=mid;
	}
	return l;
}
int main()
{
//	freopen("xx.in","r",stdin);
	scanf("%d%d",&k,&n);
	for(i=1;i<=k;g[0]+=w[i],++i)
	scanf("%d",&w[i]);
	for(i=1;i<=n;a[i]+=a[i-1],++i)
	scanf("%d",&a[i]);
	inf=(1<<16)-1;
	for(i=1;i<=inf;++i)
	{
		for(j=1;j<=16;++j)
		if(i&1<<j-1)
		{
			int c=find(f[i-(1<<j-1)],w[j]);
			if(c>f[i]||(c==f[i]&g[i-(1<<j-1)]-w[j]>g[i]))
			f[i]=c,g[i]=g[i-(1<<j-1)]-w[j];
			if(f[i]==n&g[i]>ans)
			ans=g[i];
		}
	}
	printf("%d",ans);
}