CCF-有趣的数（数位DP）

Posted 2020-08-19 KArthur

有趣的数

 

问题描述

　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当： 　　

1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。 　　

2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。 　　

3. 最高位数字不为0。 　　

因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。 　　

请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。

输出格式

　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入

4

样例输出

3

 

原理：动态规划
假设我们从高位一直到低位对每个位进行赋值，那么我们会发现根据赋值情况，我们可以根据已经使用的数字（0，1，2，3）将数据分为6种状态：
1、首先我们从最高位开始，由于0，2分别需在1，3前面而0又不能放置在最高位，最高位只能是2，因此我们得到第一种状态，即前n-1位都是为2的情况。
2、现在我们再放置一个数，目前有0，1，3没用，由于0必须在1前面，所以我们在放置1是必须先放置0。此时我们可以放置0或者3，基于此，我们得到两种状态，一种是前n-1为只有2、0；另一种前n-1位只有2、3。
3、现在我们再放置一个数，对于已经放置2和0的状态，我们可以放置1或3，则又得到两种状态，分别是2、0、1和2、0、3；对于已经放置2和3的状态，我们只能放置0（0必须优先放于1前面）。得到状态2、3、0（此状态和2、0、3相同）
4、最后一种所有0，1，2，3都被使用

 

6重状态如下：
 　　0－－用了2，剩0，1，3
　　1－－用了0，2，剩1，3
　　2－－用了2，3，剩0，1
　　3－－用了0，1，2，剩3
　　4－－用了0，2，3，剩1
　　5－－0，1，2，3

后面的状态由前面状态转化而来。如：
第５种状态全部使用可以由第５中状态自身维持或第３种状态或第４种状态转化而来

转化如下：假设从n-1到n位
第５中状态自身维持：可以在n位放置1或3（维持自身状态不变只能放置1或3，因为前面已经有1，3所以再放0，2就会违反规则）
第３种状态：可以在n位放置3
第４种状态：可以在n位放置1
得到如下公式：
states[i][5] = (states[j][3]（达到状态五仅有在1后加3） + states[j][4] ]（达到状态五仅有2301）+ states[j][5] * 2（达到状态五仅有加1/3) % mod;
其它同理。

 

代码如下：

 1 #include <iostream>
 2   
 3   using namespace std;
 4   
 5   int main(){
 6       long long mod = 1000000007;
 7       long long n;
 8       cin>>n;
 9       long long **states = new long long*[n+1];
10     for(long long i =0;i<n+1;i++)
11          states[i]=new long long[6];
12      for(long long i =0;i<6;i++)
13         states[0][i]=0;
14      /*6种状态
15      * 0－－剩013
16     * 1－－剩13
17     * 12－剩01 
18      * 3－－剩3
19      * 4－－剩1
20       * 5－－无
21      */
22      for(long long i=1;i<=n;i++)
23      {
24          long long j = i-1;
25         states[i][0] = 1;
26         states[i][1] = (states[j][0] + states[j][1] * 2) % mod;
27          states[i][2] = (states[j][0] + states[j][2]) % mod;
28          states[i][3] = (states[j][1] + states[j][3] * 2) % mod;
29          states[i][4] = (states[j][1] + states[j][2] + states[j][4] * 2) % mod;
30         states[i][5] = (states[j][3] + states[j][4] + states[j][5] * 2) % mod;
31     }
32      cout<<states[n][5]<<endl;
33      return 0;
34  }