欧拉函数求和 解题报告

Posted 2020-08-19

对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler‘s totient function、φ函数、欧拉商数等。例如：φ(8) = 4（Phi(8) = 4），因为1,3,5,7均和8互质。

 

S(n) = Phi(1) + Phi(2) + ...... Phi(n)，给出n，求S(n)，例如：n = 5，S(n) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10，定义Phi(1) = 1。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果

Input

输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)

Output

输出S(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

5

Output示例

10
代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])
#define N 5000000
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Mo=1000000007;
const int mo=2333333;
const int ni=500000004;
int phi[N+5],p[N+5],l;
int last[mo],next[mo];
bool bz[N+5];
ll n,t[mo],v[mo];
void add(int x,ll y,ll z) {
t[++l]=y;v[l]=z;next[l]=last[x];last[x]=l;
}
ll calc(ll x) {
if (x<=N) return phi[x];int k=x%mo;ll ans=0,z=x%Mo;
rep(i,k) if (t[i]==x) return v[i];
for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),(ans+=(r-l+1)%Mo*calc(x/l)%Mo)%=Mo;
ans=(z*(z+1)%Mo*ni%Mo-ans+Mo)%Mo;
add(k,x,ans);
return ans;
}
int main() {
fo(i,2,N) {
if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;
fo(j,1,p[0]) {
int k=i*p[j];if (k>N) break;
bz[k]=1;if (!(i%p[j])) {phi[k]=phi[i]*p[j];break;}
phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);
}
}
phi[1]=1;fo(i,1,N) (phi[i]+=phi[i-1])%=Mo;
scanf("%lld",&n);printf("%lld",calc(n));
}