动态规划背包问题 01背包 完全背包 多重背包

Posted 2020-08-17 A.S.KirigiriKyouko

 

一、01背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这是最基础的背包问题，总的来说就是：选还是不选，这是个问题<(￣ˇ￣)/

相当于用f[i][j]表示前i个背包装入容量为v的背包中所可以获得的最大价值。

对于一个物品，只有两种情况

　　情况一: 第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

　　情况二: 第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i] 

状态转移方程为：f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+c[i])

一道裸01背包题↓_↓

采药

题目描述 Description

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入描述 Input Description

输入第一行有两个整数T（1<=T<=1000）和M（1<=M<=100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出描述 Output Description

输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

样例输入 Sample Input

70 3

71 100

69 1

1 2

样例输出 Sample Output

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据规模】

对于30%的数据，M<=10；

对于全部的数据，M<=100。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[1001][1001];
int main()
{
    int T, n,c[10001], v[10001];
     scanf("%d%d", &T, &n);
     for(int i = 1; i <= n; i++)
       scanf("%d%d", &v[i], &c[i]);
     for(int i = 1; i <= n; i++)
     {
         for(int j = 0; j <= T; j++)
            f[i][j] = f[i-1][j];
          for(int j = 0; j+v[i] <= T; j++)
           f[i][j] = max(f[i][j] + c[i], f[i-1][j+v[i]]);
     }
     int ans = 0;
     for(int i = 0; i <= T; i++)
       ans = max(ans, f[n][i]);
     printf("%d", ans);
     return 0;  
}

还可以用一维数组这样写↓_↓

设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值， 则f[v]=max(f[v]，f[v-w[i]]+c[i]) ，当v>=w[i]，1<=i<=n 。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm = 2001, maxn = 101;
int m, n;
int w[maxn], c[maxn];
int f[maxm]; 
int main()
{
    scanf("%d%d",&m, &n);            //背包容量m和物品数量n
    for (int i=1; i <= n; i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);     //每个物品的重量和价值
    for (int i=1; i <= n; i++)             //设f(v)表示重量不超过v公斤的最大价值
        for (int v = m; v >= w[i]; v--)  //注意是逆序
            f[v] = max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]);
    printf("%d\n",f[m]);                      // f(m)为最优解
    return 0;
}

二、完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

完全背包和01背包十分相像， 区别就是完全背包物品有无限件。由之前的选或者不选转变成了选或者不选，选几件。√

和01背包一样，我们可以写出状态转移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v)

还有一个简单的优化↓_↓

当一个物品的价值小于另一个物品的价值，但是价格高于另一个物品，我们就可以不去考虑这个物品。即若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。我们为什么要买一个又贵又难吃的东西呢(╯▽╰)

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm=2001,maxn=101;
int n,m,v,i;
int c[maxn],w[maxn];
int f[maxm];
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);            //背包容量m和物品数量n
    for(i=1;i<=n;i++) 
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(v=w[i]; v<=m; v++)          //设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值
                                        //这里是v++ 顺序 区别于01背包 
            f[v]=max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]);
    printf("%d\n", f[m]);           // f[m]为最优解
    return 0;
}

三、多重背包

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这里又多了一个限制条件，每个物品规定了可用的次数。

同理，我们可以得出状态转移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-k*w[i]]+ k*c[i]|0<=k<=n[i])

一道例题↓_↓

庆功会

【问题描述】

为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。

【输入格式】

第一行二个数n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。 接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和购买的数量（买0件到s件均可），其中v<=100，w<=1000，s<=10。

【输出格式】

第一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。

【输入样例】

5 1000

80 20 4

40 50 9

30 50 7

40 30 6

20 20 1

【输出样例】

1040

先给出一个未优化的朴素算法

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[6002], w[6002], s[6002];
int f[6002];
int n, m;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
       for (int j = m; j >= 0; j--)
          for (int k = 0; k <= s[i]; k++)
          {
               if (j-k*v[i]<0) break;
               f[j] = max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
          }
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
} 

进行二进制优化，转换为01背包（拆分物品）

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[10001],w[10001];
int f[6001];
int n,m,n1;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y,s,t=1;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);
        while (s>=t) 
        {
            v[++n1]=x*t;
            w[n1]=y*t;
            s-=t;
            t*=2;
        }
        v[++n1]=x*s;
        w[n1]=y*s;                             //把s以2的指数分堆：1，2，4，…，2^(k-1)，s-2^k+1,
    }
for(int i=1;i<=n1;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
           f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); 
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}

以上就是三种基本的背包问题(*^__^*)

 

 

 p.s.这里初学咸鱼，如有错误欢迎各位大佬们指出~