生成树计数算法

Posted 2020-08-17 Only the Strong Survive

生成树计数问题：给出一个无向图，求它的生成树的个数。

 

预备知识

（1）一个n个顶点的无向图G，定义它的度数矩阵D，D是一个n*n的矩阵。对于顶点u，设度数为deg[u]，如果i=j，那么D[i][j]=deg[i],否则D[i][j]=0.

（2）一个n个顶点的无向图G，定义它的邻接矩阵A，A是一个n*n的矩阵。如果i和j之间有边，那么A[i][j]=1,否则等于0。

（3）一个n个顶点m条边的无向图G，定义它的关联矩阵B，B是一个n*m的矩阵。对于第i条边e[i]=(u,v)，那么B[u][i]和B[v][i]中一个是1，一个是-1，第i列其他值为0。那么我们有

所以对于

如果i=j，它是顶点i的度数，否则，如果i和j之间有边，那么它等于-1，否则它等于0.

（4）对于一个n个顶点m条边的无向图G，定义它的Kirchhoff矩阵C,C是一个n*n的矩阵，

很显然,C=D-A

 

Matrix-Tree定理

对于一个无向图G，它的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。 所谓n-1阶主子式，就是对于任意一个r，将C的第r行和第r列同表示时删去后的新矩阵，用下面的字母表示$C_{r}$

接下来，我们首先证明下面四个性质：

性质1：对于任何一个图的Kirchhoff矩阵C，它的行列式为0。

性质2：对于不连通的图，它的Kirchhoff矩阵C的任一个n-1阶主子式的行列式均为0。

性质3：如果G是一棵树，它的Kirchhoff矩阵C的任一个n-1阶主子式的行列式均为1。

性质4：柯西-比内公式。设A和B分别是n*m和m*n的矩阵，那么

其中S是一个子集，大小为n，也就是S取遍所有的n子集，相应的As和Bs为从A和B中取出S元素下标的所有列和所有行。

性质1证明：由C的性质可得，它的每一行每一列和均为0，那么我们把第2到第n行都加到第一行，那么第一行就全部是0了。有一行全部是0，那么它的行列式就是0了。

性质2证明： 假设G中存在k(k>1)个连通分量G1，G2，,,,，Gk，那么，我们可以重新安排C的行和列使得属于G1的顶点首先出现，然后是G2等。显然，行和列都要交换，所以进行了偶数次交换。所以，行列式的符号没有改变。 交换后是下面这个样子：

设r是Gi中的第j行，那么

性质3证明：这里给出一个构造的方法，使得矩阵$C_{r}$通过一系列变换，成为上三角矩阵，且对角线全部是1。第一步，将r看做树根，将所有点按照距离顶点r的距离升序排序，距离相同的随便排。第二步，重新编号 n-1个顶点，距离r越近的点编号越小，Cr这个矩阵也按照重新编号后的顺序重新排列。第三步，对于以r为根的树，设j是i的父亲（父亲是r的就不用管了），那么将第i列加到第j列上。 最后我们来说明，现在的Cr是对角线为1的上三角矩阵，也就是说明对于每一列x，第x个元素下面都是0，第x个元素是1。首先最后一列即n-1列满足，因为它下面没有元素了。我们来看第x列，它的孩子所在的列都在它的后面。它的孩子，不妨设有三个a,b,c,满足了第a列第a个元素下面都是0，第a个元素是1，第b列第b个元素下面都是0，第b个元素是1,第c列第c个元素下面都是0，第c个元素是1 。而第x列第x个元素下面的第a，b,c正好都是-1，a,b,c列加过来之后变成0了，而第x个元素原来是4（除了三个孩子外，它还有父亲），而第a,b,c列的第x个元素都是-1，加过来之后就是4-3=1了。证毕。

 

性质4：我不会证明这个。

 

有了上面四条性质，来证明Matrix-tree定理：

我们看到，S枚举了所有的n-1子集，那么对于

如果S枚举的n-1子集是一个生成树，它的值为1，否则它为0。所以$det(C_{r})$就是生成树的个数。