每日答疑20161105

Posted 2020-08-17

每日答疑栏目将在本平台当天收到的所有问题中选取一个，在本栏目做详细的解答
今天我们解析来自黄奇豪同学问的一个有关函数方程的问题，这个解答涉及到的基本点有函数方程、不等式以及归纳法，比较综合全面，下面我们详细说明

定义在（-1,1）的函数f(x)
满足：对任意$x,y\in (-1,1)$都有$f(x)+f(y)=f(\frac{x+y}{1+xy})$
当$x\in(-1,0)$时有$f(x)>0$，
求证：对任意$n>0$，有$f(\frac{1}{5})+f(\frac{1}{11})+\cdots +f(\frac{1}{n^2+3n+1})>f(\frac{1}{2})$

证明：
我们在证明一个问题之前可以先算几项验证这个结论的正确性。
$f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{5})=f(\frac{1}{3})$
$f(\frac{1}{3})-f(\frac{1}{11})=f(\frac{1}{4})$
经过以上观察，我们可以考虑使用数学归纳法去验证$f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{5})-f(\frac{1}{11})\cdots -f(\frac{1}{n^2+3n+1})=f(\frac{1}{n+2})$
归纳基础：n=1时，$f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{5})=f(\frac{1}{3})$
归纳假设命题对n=k-1成立，即有$f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{5})-f(\frac{1}{11})-\cdots -f(\frac{1}{{(k-1)}^2+3(k-1)+1})=f(\frac{1}{k+1})$
要去证$f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{5})-f(\frac{1}{11})-\cdots -f(\frac{1}{k^2+3k+1})=f(\frac{1}{k+2})$
也即证$f(\frac{1}{k+1})-f(\frac{1}{k^2+3k+1})=f(\frac{1}{k+2})$
由于$\frac{\frac{1}{k^2+3k+1}+\frac{1}{k+2}}{1+\frac{1}{k^2+3k+1}\frac{1}{k+2}}$
$=\frac{n^2+4n+3}{n^3+5n^2+7n+3}$
$=\frac{(n+1)(n+3)}{(n+1){(n+3)}^2}=\frac{1}{n+3}$
归纳成立
因此对任意$n>0$，有$f(\frac{1}{5})+f(\frac{1}{11})+\cdots +f(\frac{1}{n^2+3n+1})=f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{n+2})$
最后只要去证$f(\frac{1}{n+2})<0$即可
先计算f(0)
$f(0)+f(0)=f(0)\Rightarrow f(0)=0$
对任意$x\in (-1,1)$，$f(x)+f(-x)=f(0)=0$
所以$f(\frac{1}{n+2})=-f(-\frac{1}{n+2})<0$
得证

点评：函数方程的解决很重要的一点就是在方程中代入一些特殊点运算出这个函数在特殊点的值，从而推测函数所具有的性质（对称性、周期性、单调性等）并加以证明。