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Posted 2020-08-17

二分图

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

区别二分图，关键是看点集是否能分成两个独立的点集。

   

二分图匹配（匈牙利算法）

1. 最大匹配：设 是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集 ，选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximal matching problem)。
2. 完全匹配：如果一个匹配中，  且匹配数  ，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
3. 完美匹配：如果一个匹配中，  且匹配数  ，称为完美匹配（所有的点都匹配）

 

 如图：

点集分成数字和字母，给定边的关系，求最大匹配。

 

（1）从数字点集开始遍历，从1号开始，所连边终点未被标记-->标记，进行下一个点；已被标记过-->搜索下一条边。

（2）3号只有一条边，且A已被标记过（3委屈）。匈牙利算法就要做一些magic的事情了，从3号搜索到A，因为A已被标记过，直接到2。（红色边为深搜所得边）

（3）从2深搜到C；C也被标记过，直接到1。

（4）1搜索到E,且E未被标记。

（5）此时，将以上红色&蓝色都有的边删除标记，只有红色的边 为匹配边。

（6）这样1,2,3号点就处理完了，以此类推处理完整张图。

在（2）（3）（4）过程中，我们可以发现，从3号（未被标记过）开始每次遍历的边都遵循着 未匹配->已匹配->未匹配->已匹配... 的规律，此时走过的路为增广路。

而对走过的增广路取反，所得到的匹配边由原先的n条变为（n+1）条。（将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配 。）

当我们对数字点集全部操作完就已求出最大匹配（不必再对字母点集操作，因为已通过边便利过可遍历的字母点集）。

/*

增广路

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径（举例来说，有A、B集合，增广路由A中一个点通向B中一个点，再由B中这个点通向A中一个点……交替进行）。

由增广路的定义可以推出下述五个结论：

1－P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2－不断寻找增广路可以得到一个更大的匹配M’，直到找不到更多的增广路。

3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

4－最大匹配数M+最大独立数N=总的结点数

5 -- 二分图的最小路径覆盖数 = 原图点数 - 最大匹配数

*/

 

 1 //二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）
 2 //初始化：g[][]两边顶点的划分情况
 3 //建立g[i][j]表示i->j的有向边就可以了，是左边向右边的匹配
 4 //g没有边相连则初始化为0
 5 //uN是匹配左边的顶点数，vN是匹配右边的顶点数
 6 //调用：res=hungary();输出最大匹配数
 7 //优点：适用于稠密图，DFS找增广路，实现简洁易于理解
 8 //时间复杂度:O(VE)
 9 //***************************************************************************/
10 //顶点编号从0开始的
11 const int MAXN=510;
12 int uN,vN;//u,v数目
13 int g[MAXN][MAXN];
14 int linker[MAXN];
15 bool used[MAXN];
16 bool dfs(int u)//从左边开始找增广路径
17 {
18     int v;
19     for(v=0;v<vN;v++)//这个顶点编号从0开始，若要从1开始需要修改
20       if(g[u][v]&&!used[v])
21       {
22           used[v]=true;
23           if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))
24           {//找增广路，反向
25               linker[v]=u;
26               return true;
27           }
28       }
29     return false;//这个不要忘了，经常忘记这句
30 }
31 int hungary()
32 {
33     int res=0;
34     int u;
35     memset(linker,-1,sizeof(linker));
36     for(u=0;u<uN;u++)
37     {
38         memset(used,0,sizeof(used));
39         if(dfs(u)) res++;
40     }
41     return res;
42 }