uva 1471Defense Lines（算法效率--使用数据结构）

Posted 2020-08-17 konjac蒟蒻

题意：给一个长度为N(N≤200000)的序列，要删除一个连续子序列，使得剩下的序列中有一个长度最大的连续递增子序列，输出其长度。

解法：（参考自紫书）1.X 暴力枚举删除的区间 [l,r]，O(n^2)，再数需要O(n)。总共O(n^3)。

2.X 前者+O(n)预处理 f[i] 和 g[i] 表示前缀和后缀的长度最大的连续递增子序列长度。总共O(n^2)。

3.√ 前者O(n)预处理+ 只枚举 r（部分枚举），快速找最优的 l。而最优的就是 Ai 尽量小而f[i]尽量大，就可以排除掉 Ai≤Aj, f[i]>f[j]的所有这些 j 。
那么按照 Ai 从小到大排序，形成一个有序表，选的 Ai 就是从小到大的，相应的 f[i] 也是从小到达的。（就想着留下来的比 Ai 大的数 Aj 的 f[j] 也一定要比 f[i] 大便变成 ←）
于是我们可以二分查找找到最大比 Ar 小的 Ai，它的 f[i] 也是最大的。

难道这样就完了？ \(￣▽￣)/  No,no,no! 要小心上述的方法的前提条件是“枚举 r”，也就是 r 固定时才有效，不同的 r 排除后留下来的 Ai 是不同的，也就是说这个有序表是要动态变化的，所以上述的“排序+二分查找”方法是行不通的！<(—︿—)>  但是...又不是完全错误的。 ??(•??•??)??

而是——那样的“排序+二分”对于需要不断插入和删除的情况不对，仍然要“排序+排除+查找”，通过利用一些特殊的数据结构的方式来维护这个有序表：比如说STL库里的set（自带排序+lower_bound和upper_bound函数）就可以解决“排序”和“查找”的问题了。

那么对于“排除”，也就是动态的维护有序表，我们要仔细思考一下。分2种情况：(1)它被排除掉，Ai 较大且 f[i] 较小；(2)它留下，排除掉一些 Aj 较大且 f[j] 较小的数。
统一起来就是先把 (Ai,f[i]) 插入到有序表中，看一下它的前一个数 Aj，若 Aj<Ai 且 f[j]>f[i]，那么就是 (1) 的情况，把 Ai 删掉；若不是这样，就保留下来，并删掉后面不需再保留的数了。

综上所述：插入、查找、删除均为O(n log n)，预处理O(n)。总共O(n log n)。

P.S.LA 2678用到的思想与这题很像很像。