1005：取余，循环，找规律

Posted 2020-08-17 猪妹

Problem Description

A number sequence is defined as follows:
f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.
Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

 

Input

The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.

 

Output

For each test case, print the value of f(n) on a single line.

 

Sample Input

1 1 3

1 2 10

0 0 0

 

Sample Output

2

5

1.必然会出现循环

这是基于下面事实(*不太懂*)：

1． R(n+2)=F(n+2) mod P=(F(n+1)+F(n)) mod P=(F(n+1) mod p +F(n) modp) mod p

2． 斐波那契数列的最大公约数定理：gcd(F(m),F(n))=F(gcd(m,n))

最大公约数定理表明如果F(k)能被N整除，则F(ik)也能被N整除，这就表明了斐波那契数列所含因子的周期性，下面列举：

因子：2，3，4，5， 6，7，8， 9，10，11，12

周期：3，4，6，5，12，8，6，12，15，10，12

我们称所生成的序列为剩余序列，那么一旦出现某个F(k) 能被N整除（这需证明我的一个猜想：对于任意素数P，F（P），F（P-1）和F（P+1）三个中定有一个能被P整除），以后F(ik)都能被N整除，亦即剩余序列周期地出现0，下一个剩余序列值为N-1种可能，总会重复，有两个相邻的重复该序列就一定重复，亦即具有周期性。

这个周期叫做皮萨诺周期

 

2.正确思路

因为mod7的关系，而且f(1)=f(2)=1,所以f(n)的值是循环分布的，而且一定会回到f(n-1)=f(n)=1。

 

并且还可以得出，这个循环不大于49，因为相邻连个f只有7种取值，这样f(n-1)和f(n)共有49种组合。

所以，只要找出循环因子即可，寻找方法正是根据f(n-1)=f(n)再次出现的地方来计算。

可以首先为这个题目写一个测试程序，设定一个a b n(n比较小时)的值，看看输出规律。

 

只要找到k使得f(k-1) = f(n-1),f(k-2)=f(n-2);特别地，当k等于2时就可以了，因为f(1),f(2)是循环的开始。

又因为f(n-1),f(n-2)都只能取0到6共7个数，因此有49种组合方式，也就是说50内必然可以找到满足条件的k，就是循环周期小于50。

 

3.解题思路：

1.n的数值很大，这类数值很大的问题一般都有规律，找出循环节（周期）是关键；

2.找规律，这道题是从 f(1) = 1 和 f(2) = 1 开始，然后依次模7，可知 f(n) 只有7种情况，所以两数相邻只有7*7=49种；

3.所以从 f(1) 到 f(49) 必会出现相邻两个 f(m-1) = 1 , f(m) = 1，所以 f(n) 为周期函数，49为其一个周期。

 

3.实现代码：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int A,B;
 5 
 6 int f(int n)
 7 {
 8     if(n==1||n==2)
 9         return 1;
10     else{
11          return ((A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) % 7);
12 
13     }
14 }
15 
16 int main()
17 {
18     long long n;
19     while(1)
20     {
21         cin>>A;
22         cin>>B;
23         cin>>n;
24         if(A==0 && B==0 && n==0)
25             break;
26         else
27         {
28             n %= 49;
29             cout<<f(n)<<endl;
30         }
31     }
32     return 0;
33 }