数论 之 3012 Fibnacci Numbers

Posted 2020-08-16 fzfn5049

http://acm.tzc.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=3012

 

题意：f[1]=1,f[2]=2,f[n]=f[n-1]+f[n-2],定义：，求

 

这道题只有1s，很明显模拟的话单单指数部分的 S[ x ] 就O(n)超时了，更不用说求幂了。

而该 f[ x ] 为斐波那契数列，于是想到的是构造一个矩阵，利用矩阵来求 f[ x ] 和 S[ x ] 。

初始的构造方法是一个4*4的矩阵：

 

记为A[ n ]=T * B[ n-1 ]，然后可以得到 A[ n ]=T^(x-2) * B[ 2 ]    ( 当 x>2 时 )

然后用矩阵快速幂的方法 求 M=T^(x-2) , 然后 s[ n ]= M[ 0 ][ 0 ]*s[ 2 ] + M[ 0 ][ 1 ] * f^2[ 2 ] + M[ 0 ][ 2 ] * f^2[ 1 ] + M[ 0 ][ 3 ] * f[ 1 ]*f[ 2 ]

然后用降幂公式   s [ x ] =  , 其中 ψ ( n )为欧拉函数值。 

降幂之后再用快速幂取模的方法 求 ans = ( a^s ) % n 求最终的答案。

不过不知道哪出问题了，一直在 WA 和 TL 中来回跑。

 

然后换了个构造方法，构造 2*2 的矩阵：

 A[ X ] = |  f[ x+1 ]   f[ x ]    |         |  1  1  | ^(x+1)

                 |    f[ x ]     f[ x-1 ] |    =  |  1   0 |

会发现 S[ x ] = F[ x+1 ] * F[ x ] -1

用快速幂 将 F[ x+1 ] 和 F[ x ] 求出  则可以得到 S[ x ] 时间复杂度为O( log n ) 

然后再用降幂公式和快速幂取模 求 ans 为最终答案

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<sstream>
#define eps 1e-9
#define pi aocs(-1)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf -INF
using namespace std;

const int maxn = 1e3 + 10;

typedef long long LL;

LL a,x,n,phi_n,F1,F2;

struct matrix{
  LL m[2][2];
}p,q;

LL phi(LL n){  // 欧拉函数  s=s%phi+phi 降幂
  LL res = n;
  for(int i = 2;i*i<=n;++ i){
    if(n%i==0){
        res = res - res/i;
        do{
            n/=i;
        }while(n%i == 0);
    }
  }
  if(n > 1) res = res - res/n;
  return res;
}

matrix multi(matrix a,matrix b,LL mod){
  matrix c;
  for(int i = 0;i < 2;++ i)
  for(int j = 0;j < 2;++ j){
    c.m[i][j] = 0;
    for(int k = 0;k < 2;++ k)
        c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
    c.m[i][j]%=mod;
  }
  return c;
}

matrix quick_mod(matrix a,LL b,LL mod){
  matrix ans = p;
  while(b){
    if(b&1) ans = multi(ans,a,mod);
    b>>=1;
    a = multi(a,a,mod);
  }
  return ans;
}

LL quickpow_mod(LL a,LL b,LL mod){
  LL res = 1;
  while(b){
    if(b&1) res = (res*a)%mod;
    b>>=1;
    a = (a*a)%mod;
  }
  return res;
}

void init(){
  p.m[0][0] = p.m[1][1] = 1; p.m[1][0] = p.m[0][1] = 0;
  q.m[0][0] = q.m[0][1] = q.m[1][0] = 1;q.m[1][1] = 0;

}

int main(){
    matrix ans;
    init();
    while(cin>>a>>x>>n&&a+x+n){
        phi_n = phi(n);
        ans = quick_mod(q,x+1,phi_n);
        cout<<"aaa "<<ans.m[0][0]<<ans.m[0][1]<<endl;
        F1 = ((ans.m[0][0]*ans.m[0][1]-1)%phi_n + phi_n )%phi_n + phi_n;
        LL res = quickpow_mod(a,F1,n);
        cout<<res<<endl;
    }
	return 0;
}