可导与连续
Posted
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了可导与连续相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
参考技术A问题1：
首先要明确邻域的概念。
如果一个区间 (a,b) 或者 [a,b] 是 x = 0 的邻域，意思是 x = 0 属于区间内部（不包括边界）。
比如：闭区间 [a,b] 的边界是 a 和 b，那么 [a,b] 的内部就是 (a,b)，所以 [a,b] 是 x = 0 的邻域就要求 (a,b) 包含 x = 0。
举个例子：[0,1] 的内部是 (0,1)，不包括 x = 0 这个点，所以 [0,1] 不是 x = 0 的邻域。
[-100,99) 的内部是 (-100,99)，包含 x = 0 这个点，所以 [-100,99) 是 x = 0 的邻域。
所以，邻域总是包含该点的。邻域内 n 阶连续或可导，那么该点就 n 阶连续或可导。
但反过来不行，举个反例（3阶太麻烦了，不容易看清，举个1阶的反例）：
问题2－问题5可以合起来回答。
下面这些条件，一个比一个强，也就是严格的依次增强：
f(x) 连续（即 0 阶导数连续）；
f(x) 可导（即 1 阶可导）；
f(x) 1 阶导函数连续；
f(x) 2 阶可导；
f(x) 2 阶导函数连续；
f(x) 3 阶可导；
f(x) 3 阶导函数连续；
……
f(x) n 阶可导；
f(x) n 阶导函数连续；
f(x) n+1 阶可导；
f(x) n+1 阶导函数连续；
……
满足后面的条件时，一定可以推出前面的条件；
但如果只有前面的条件满足，那么都会有反例，使得后面的条件不满足。
依次回答第2－5个问题：
第2问：3 阶连续的导函数，就是 3 阶导函数连续。
第3问：对的，若 3 阶导函数连续，就能推出 2 阶、1 阶导函数连续。
第4问：3 阶可导，可推出 2 阶、1 阶、0 阶导函数连续，但不能推出 3 阶导函数连续。
一般来讲，可导必连续指的是：若 n+1 阶可导，必有 n 阶导函数连续。
第5问：若 3 阶导函数连续：
如果仅是在 x = 0 点的 3 阶导函数连续，那么只能推出在 x = 0 点的 3 阶可导，不能推出在 x = 0 的邻域内可导；
如果是在某个包含 x = 0 的邻域 (a,b) 内，3 阶导函数连续，那么就能推出在 x = 0 的相应的邻域内 3 阶可导。
可导与连续的关系
可导必连续，连续不一定可导
可导在几何图像上面理解,应该是有切线的意思.有切线就是这个曲线在很小的一段局部会很接近直线,局部越小越接近直线,所以要求这个函数曲线不但不能有断开的悬空的点,还要求这个函数曲线平滑,不能突兀（比如一个很尖的地方,那里再怎么取一小段都是尖的凸出来的,不可能是接近直线，还有第二个要求改切线的斜率一定是可定的，无穷大，无穷小都不行.
连续在几何图像上面理解,就是没有断开的.一个尖尖的折线也不断开,但是肯定不可导.但是反过来可导的一定连续.
以上是关于可导与连续的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章