深度学习BP算法的推导（附加RNN,LSTM的推导说明）

Posted 2020-08-16 长虹剑

注：1）这篇文章主要参考Alex Graves的博士论文《Supervised Sequence Labelling with Recurrent Neural Networks》 详细介绍其关于BP算法的推导过程。 

        2）论文没有提到过偏差的处理，不过如果能耐心推导出论文给出的公式，那么这将十分简单。

        3）由于是结合语音训练的，最后是softmax出来是获得有限结果的概率值，然后做交叉熵作为目标函数，所以可能与其他的网络不一致，但是反馈的推导应该是一样的，除了输出层和最后一个隐层之间的个推导。

        想看详细的RNN,LSTM公式，就看那篇博士论文吧（只给了公式没给推导过程，不过数学好的应该能“显然就是这样！”）

4）最近找到一篇非常好的论文《Deep Sentence Embedding Using the Long Short Term Memory Network:Analysis and Application to Information Retrieval》

 

  转载请保留出处 http://blog.csdn.net/hongmaodaxia/article/details/41809341

1.MLP 多层感知器

        我觉的在看下面公式之前多少也要对BP有些了解吧，最起要明白，建立网络的目的是要拟合一个非线性函数，最终效果是整个网络就是一个函数。函数的参数便是里面的权重，所以主要目的就是如何训练得到这些参数。一般都是建立一个目标函数O，然后优化它，因为它和权重w有关，所以利用梯度下降法，来更新权重，所以文中最终的目的就是是在设法求dO/dw ……这些基本知识我还是不说了。

下面这张图是我结合kaldi中dnn的代码画的图不知对接下来讲的有没有帮助，我觉的kaldi的代码和论文这里的一抹一样，只是代码中把权重和层看作不同的component。

1.1前向传播

       普通的BP前向传播很简单，如果最后一层不是softmax层，那么就是 输入 ×  权重 然后通过一个激活函数（eg. sigmoid），加上偏差作为输出。为了简便以下直接通过截图，然后详细的介绍每一步的作用。

         

        其中I 代表输出单元个数，输入的数据是向量x，下表带有h的表示在隐层。左面两个式子就是求第一个隐层其中一个unit（单元）的输出。  3.1式，可以理解为一个过渡式子，但是这个式子很重要，后面推导的时候就是用目标函数对a求导作为基本结构（我猜想这也是考虑到 后面对权重w求导方便）。右面两个式子，是其余隐层单元的输出（因为这里要讲的是深度网络，所以有多个隐层）

        那个θ是一个非线性函数（激活函数），一般有下面两种选择：

      指所以选择非线性函数，因为其可以拟合线性的函数，发现非线性的分类边界（nonlinear classi cation boundaries），同时线性函数的组合还是线性的，而非线性则可以更好地”记忆“输入数据的特征。（算了这样下去就成翻译了，我还是注重推导吧，反正大家的ANN基本知识比我好）

     前向传播到最后，当然要把输出数据和原来的数据进行比对然后更新权重（这里讲的是有监督学习）。对于语音识别网络结构CD-DNN-HMM熟悉的话，知道网络最后的输出是关于每个phoneme或triphone的概率，而概率的得来是通过最后一个softmax层求得并输出的（此层非常特殊，不像原来每个节点单独求输出b，而是等此层所有节点的a都求出后，一起求b【概率】）。式子如下

              

     左面那个就是标准的softmax函数，求Ck类的概率值。 右面那个函数z是标签(或者说本应该的正确结果，但是完全由一个1其余为0组成比如[0,1,0,0,0]  ，1，0其实代表的是概率值，它们求和为1，可以理解为总共有5个分类结果，输入应该对应第二个分类) 

1.2目标函数O

结合2.11式（在下面，就是求交叉熵的）与3.13式可得3.15式——我们需要最小化的目标函数（交叉熵越小，说明模型越逼近真实的结果）

（注：O=F(x) 就是要最小化F(x)，当然如果F(x)=-f(x) 就是要最大化f(x)）

         目标函数以前用的是均方误差    

         最小化目标函数O就需要用梯度下降法【应该是随机梯度下降，因为基本上是训练一个数据（或mini-batch），更新一下权重，而不是把所有的都训练完再更新】

        关于梯度下降法，要理解清楚，要不然就不知道下面为什么要那么干，可参考博客 http://www.cnblogs.com/iamccme/archive/2013/05/14/3078418.html 。 简单说一下，如果要更新权重w，就要知道更新量,可以选取梯度最大的值(传说中的导数)，如果+则是最大化目标函数,如果减则是最小化目标函数.为了防止过快/慢则乘以一个系数.

1.3 后向传播

这才是真正难的地方.大体说一下,由于最后一次层特殊是个softmax层,所以单独证明一下,后面的则完全一样了,通过找到递归的算法.使得公式十分简洁.

再次强调,ah是指下面的 输入X 权重 求和的值,还没有通过节点,而 bh 是指ah 通过节点的激活函数θ的值,那么这个bh乘以权重whk与其他求和,就又得到上一层的ak,而论文的作者是以求dO/da 为核心，然后推导出递归公式。

先看softmax这层的推导

根据3.15式和3.13式，不难想到3，20式 【牢记每个 单元/节点 的softmax值依赖于这层所有的a】

     

对于3.22式，有兴趣的同学可以自己推，下面是我的推导过程，截图如下，不知是否准确

 

其他层的递归求法推导

之前我强调了很久的地方，是因为我在推导RNN和LSTM的时候，充分发现其巧妙之处，作者在接下来也直接给出了公式 3.23

 

      

δk 在3.22式就已经得到了，接下来，论文通过简单的求导变换就推出出的递归公式，下面慢慢讲，首先是倒数第二个隐层

      类似3.1有 

     解释：上面这个式子，在不知不觉中牵扯到两个隐层 ，ah产生bh，bh产生ak，记住a只是通过矩阵乘法还没通过节点，而b就是a通过后的值。

     给个我画的图片吧,

 

     通过3.24式与3.2，3.9式结合，便可得3.25式，这样推广一下除了最后的softmxt层其他层都可以按3.36这样递归来算

    

   虽然找到了递归关系，但是有朋友要问了，不是应该求权重w的倒数吗？怎么一直没看到？我想说的是如果一开始直接利用求w的倒数来推导，那么上面的公式将会复杂，还有论文后面的LSTM列出的公式（论文同样没给具体的推导，需要自己来推推）也利用dO/da 总结出公式……不说了，下面就看看这样之后求dw是多么简洁吧！

 

2.RNN Recurrent Neural Networks(循环的神经网络)

网络的结构就是每一个隐层,拥有上一时刻这个隐层输出的输入值.,原文示意图如下

2.1前向传播

   直接看公式吧,很简单,注意上标是指时间t

    

当然输出层的a则和以前的一样

2.2 后向传播

先给公式

   

    其实也没什么难的,但是有个地方要仔细揣摩一下,仔细观察 公式3.23 用到了t+1,如果求导思路清晰则可以推,出来.但是也可以这样理解:前向传播时h层的输出bh影响了h层t+1时刻,所以按照多元函数求导的法则,自然要加上对t+1时刻的影响,或者干脆看作上面不仅有k层还有 h(t+1) 层,这样就好理解为什么有 δ(t+1)了吧,【明白这个很重要，要不然LSTM给出的公式将更难理解】

求对w的倒数和往常一样的简单

 

3 LSTM Long Short-Term Memory （长短时间记忆）

（这张图有有些地方标的不准确，比如h的位置应该是从CEC出来做h的，还有output哪里最起码要意思一下有个回环，还有就是每个大圆圈本来应该有两个指向的箭头，这里居然画了三个）

到这里，朋友们可能要失望了，因为接下来我也不贴结构图或者是公式。在这里给想推导出LSTM公式的同学一些经验。

1）先把结构图看明白，要对照论文给出的各个定义，结合Forward Pass ，注意图中C=1，其实这一个memory block 应该有多个输出。前万不要先看 Backward Pass

2)要时刻警惕脚标t ,t+1 ,t-1

3）开始推导后向算法的朋友，也不要害怕，其实就是下图这么回事

    推导过程中z到t可能间隔几层，而非上图中的一层，一定要明白谁是最后的求导对象。一般来说除了像3.24那种需要变换的，其余只要根据图中箭头的反像就可以慢慢链式的求出来。 当然这是我的理解不一定对，大家数学好的可能就会说，这还用求吗？显然是这样，就像1+1=2一样的显然。

 

    这一块内容我看了很久，这三个推导看了大约5天，很多笔记在打印纸上，这里只能摘一点防止自己忘记，也为入门的朋友提供一些小的帮助。

 

4. CTC 那里的推导说明

直接说作者的公式 7.29 吧，结合公式 7.26，7.27  再结合我上面对3.22式的详细推导，发现只用把z换一下，就立刻得到结果了。

(总结：如7.26式，O对y求导后，表达式为 F/y  的形式，就可以直接套用我上面的推导过程，得到结果【将z直接替换为F】)

写程序的时候要注意误差那里用log，然后用exp才行。 论文中给定log scale公式是可以直接推导出来的。

log scale的c++实现

 

double CHJ_LossFunc_log_add(double a,double b,bool hasdone=false){
	if(!hasdone){
		assert(a>0&& b>0);
		a=log(a);b=log(b);
	}
	if(b>a) {a+=b; b=a-b; a-=b;} //交换，保证a是大的
	return a+log(1+exp(b-a)); 
}
double CHJ_LossFunc_log_add_mul(std::vector<double> & vec,bool hasdone=false){
	/*求log加和 it change vec 
	如果用递归实现的话大致如下
	if(n==0){
		return a;
	}else{
		return a+Log(1+Exp(CHJ_LossFunc_log_add_mul(vec,hasdone)-a));
	}
	*/
	int32 n=vec.size();
	assert(n>0);
	double a=vec[--n];
	vec.pop_back();
	if(!hasdone){
		assert(a>0);
		a=log(a);
	}
	for(std::vector<double>::iterator it=vec.begin();it!=vec.end();it++){
		a=CHJ_LossFunc_log_add(a,*it,hasdone);
	}
	vec.clear();
	return a;
}