骗分大法之-----分块||迷之线段树例题a

Posted 2020-08-16

什么是分块呢？

就是一种可以帮你骗到不少分的神奇的算法。

分块的写法有几种，我所知道的有①预处理②不预处理

不预处理的代码我看得一脸懵逼

所以我在这里就谈一下预处理的版本www

首先看一道题：

 

给定一个包含n个数的序列，初值全为0，现对这个序列有两种操作：
操作1：把 给定 第k1 个数改为k2;
操作2：查询 从第k1个数到第k2个数得最大值。（k1<=k2<=n）

所有的数都 <=100000

好的，如果我们搞遍历肯定超时到爆炸。

那么就要用到分块大法了

把这n个数分成若干块，然后每个块计算出最值，并存入数组。

这样在查询的时候只需要遍历所有块的个数，效率++

下面引用梓轩学姐的神奇讲解：

 

想象一下你现在是一个项目的主管，你要高效地管理所有的员工，那么一个最容易想到的方法就是将他们分组，然后每个组定一个组长。

 

现在你要询问某些人的最大值，那么如果一个组的所有员工都在询问的范围内，你只需要询问这个组的组长一次就可以知道这个组最厉害的员工是谁而不是一个一个询问，而如果有些组只有其中几个人被询问，那么你还要一个一个地问这几个人。

 

现在我们把这种思想搬到序列上，很容易就能想到将相邻的元素分到同一个组，也就是我们所说的分块。那么对于询问某个区间，你只需要将这个区间分成若干个完整的块并且记录每个块的最大值，以及两头的若干单独的元素。举个栗子：你有20个元素，你将它们每四个元素分一块，也就是分成了[1,4][5,8][9,12][13,16][17,20]五个块，此时当你询问[6,18]这个区间时只需要询问第6、7、8、17、18个数和第三第四个块的最大值即可，这样我们就免去了一个一个访问中间的元素。

 

至于修改操作则比较简单，当修改一个元素时，如果它的值增大了，那么我们判断它是否比之前的最大值还大就好，而当被修改的元素是块内的最大值而且它的数值还减小了则比较麻烦，我们只能通过再次遍历一遍整个块来确定最大值。

 

此时我们来考虑要怎么分块才能更高效地完成工作，如果一个块元素太多那么你要一个一个访问的元素可能很多（比如一个很大的块只有一个元素没被询问到那你得访问遍这整个块除了它以外的元素），如果一个块元素太少那么你可能会要访问好多组。

 

我们假定S为块的大小，即相邻的每S个元素分为一块，那么我们最多分n/S+1块，假设块的个数是C（很显然它和n/S几乎等价），再来看我们的询问操作是如何进行的：访问所有被询问区间整个包含的块，以及两端的两个不被整个包含的块（可能没有）的被询问的若干元素。前半部分我们会访问O(C)个块，而后半部分我们会访问O(S)个元素。接着还要看修改操作：最坏的情况下我们需要访问整个块，也就是O(S)。

 

由于O(a+b)=O(max(a,b))，而C是随S递减的，当C=S时才能得到最好的复杂度，也即是S=n^0.5次方。那么一次操作是O(n^0.5)的代价，整个算法的复杂度也就是O(m*n^0.5)，由于m和n是同阶的，所以说O(n^1.5)（读作欧恩根号恩）也可以。我们可以看到，只有根号才能让块的元素个数和块的个数达到了均衡，这也就是为什么分块的标志是根号的元素。

 

回顾整个过程其实非常简单：将序列分块，然后将一个区间询问分解为若干个块和若干个单独元素即可。

 

 

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

然后，是例题的代码↓：

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 using namespace std;
 7 const int maxx=1000100,inf=1000000000;
 8 int n=0,s=0,c=0,k=0,q=0,w=0;
 9 int a[maxx],f[maxx];
10 int mx[500],zuo[500],you[500];
11 void chu()
12 {
13     s=(int)sqrt((double)n);
14     for(int i=1;i<n;i+=s)
15     {
16         f[i]=++c;
17         for(int j=i+1;j<=i+s-1;j++)
18         {
19             f[j]=f[i];
20         }
21         zuo[c]=i;
22         you[c]=i+s-1;
23     }
24     if(s>0)
25     if(n%s>0)
26     {
27         zuo[c+1]=you[c]+1;
28         you[++c]=n;
29         for(int i=zuo[c];i<=you[c];i++) f[i]=c;
30     }
31 
32 }
33 void gai(int x,int v)
34 {
35     int y=f[x];
36         a[x]=v;
37         int temp=-1*inf;
38         for(int i=zuo[y];i<=you[y];i++)
39             if(a[i]>temp)
40                 temp=a[i];
41             
42                 mx[y]=temp;
43 }
44 int zui(int l,int r)
45 {
46     int x=f[l],y=f[r],ans=-inf;
47     if(x==y)
48     {
49         for(int i=l;i<=r;i++)
50             if(a[i]>ans)
51                 ans=a[i];
52             return ans;
53     }
54         for(int i=l;i<=you[x];i++)
55             if(a[i]>ans)
56                 ans=a[i];
57             for(int i=x+1;i<y;i++)
58                 if(mx[i]>ans)
59                     ans=mx[i];
60                 for(int i=zuo[y];i<=r;i++)
61                     if(a[i]>ans)
62                         ans=a[i];
63     return ans;
64 }
65 int main()
66 {
67     memset(a,0,sizeof(a));
68     memset(f,0,sizeof(f));
69     memset(mx,0,sizeof(mx));
70     cin>>n;
71     chu();
72     for(int i=1;i<=n;i++)
73     {
74         cin>>k>>q>>w;
75         if(k==1) gai(q,w);
76         if(k==2) cout<<zui(q,w)<<endl;
77     }
78     return 0;
79 }