逻辑推理:在一个100条语句的列表中,第n条语句是“在这个列表中,恰有n条语句为假”,可以得出什么结论?

Posted 潋滟碧水醉落花

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《离散数学及其应用》第六版1.1练习题第43题的个人分析

题目:在一个100条语句的列表中,第n条语句是“在这个列表中,恰有n条语句为假”..........
     a)从这些语句中得出什么结论
     b) 若第n条语句是”至少有n条语句为家“,结论是什么
     c)假设包含99条语句,回答b

答案网上都有,我是给出自己的分析过程:(思路大概是:如果这句话话为真,推出这句话的内容为真,由这句话的内容又能推出其余话的是不是为真,再根据其余话的内容来判断是不是矛盾。主要就是看这句话为真与这句话的内容为真是不是矛盾。分清这句话和这句话的内容,就明了了)
a)p1,p2,.....p100分别代表这个100条语句。
假设p1为真,根据p1的内容,既然只有1个语句为假了,那后面的99条语句说的全不是只有1个为假,说明后面99条全为假。可既然后面99条全为假了,那说明这个列表有99条为假,但是p1说只有1个为假,条件和结论相矛盾。所以假设不成立,说明p1为假。
同样的方法推断p2。假设p2为真,根据p2内容,后面的98条全是假的了,再算上p1已经为假了,说明列表里有99条为假,与p2内容矛盾。所以假设不成立,说明p2也为假。
同样推断出p3到p98也都是假的。
再看p99,假设p99为真,首先前面98条已经证明为假的了,再根据p99的内容”恰有99条为假“,还差1条,说明p100肯定为假。而从p100的内容”恰有100条语句“来判断,p100也确实为假(因为p99为真的,所以p100的内容是不对的)。这个由条件到结果是不矛盾的。保险起见,再假设p99为假的,因为前面98个已经证明为假了,而p99也假设为假了,现在共有99条假的了,再根据p99的内容,说明p100也必须为假,因为如果p100为真的话,那p99就是真话了。如果p100也为假的话,那说明这个列表全部都为假了,可是这样又到底了p100的内容是真的,条件到结论矛盾。再次证明了p99为真
再看p100,现在已知98都为假,p99为真,p99既然为真,那他的内容就是一个事实”恰有99条为假“,还差1条,只能说明p100为假了,如果p100为假的话,那么p100所陈述的内容就是假的,而事实也确实说明p100的内容为假。
所以最后的结果是:除了p99,其余全为假。
b)这个要反过来推到
先假设p100为真,那p100的内容就是真的”至少有100条假“,因为总共就100条,说明全都为假,可既然100条都是假,那p100也是假的,又矛盾了。表明p100应该为假的。(也可以从另外一个角度证明,p100的内容”至少有100条假“是真的,说明”至少有99条、98条、1条为假“都是真的,前面99条都为真的,那怎么还能至少100条为假呢,矛盾。表明p100为假)
同样方法推断p99,假设p99为真,由p99的内容推断p1到p98都为真,而p1到p98都为真显然是与p99的内容不符合的,矛盾。表明p99为假。
同样推断出p98到p51都为假的。
再看p50,假设p50为真,由p50的内容推断p1到p49也都为真,说明50条为假的语句只能是p51到p100了,而事实上p51到p100也确实都为假,不矛盾。表明p50应该为真。保险期间,我们再假设p50为假,那说明p50的内容”至少50条语句为假“是不对的,可是p51到p100这50条语句已经证明为假了,矛盾。再次表明p50应该为真。
接着看p49,假设p49为真,由p49的内容推断p1到p48都为真,而p51到p100都为假,也论证了p49的内容是没错的,没有矛盾。p49为真
同理推断出p48到p1也都为真。
所以最后的结果是:p1到p50为真,其余为假。
c)同样方法推断出p99到p51为假
推断p50,假设p50为真,由其内容推断出p1到p49都为真,一共99条语句,p1到p49为真,p50也假设为真了,只剩下49条语句根本凑不成50条为假了,所以矛盾,p50为假。可是p50如果为假的,由于p51到p99这49条已经为假了,再加上p50又为假,说明这个列表确实至少有50个为假,这样说明p50的内容是对的,p50应该是真的,再次矛盾。可见无论p50为真还是为假,都矛盾。说明这是个悖论。

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