逻辑推理：在一个100条语句的列表中，第n条语句是“在这个列表中，恰有n条语句为假”，可以得出什么结论？

Posted 2020-08-16 潋滟碧水醉落花

《离散数学及其应用》第六版1.1练习题第43题的个人分析

题目：在一个100条语句的列表中，第n条语句是“在这个列表中，恰有n条语句为假”..........
     a）从这些语句中得出什么结论
     b) 若第n条语句是”至少有n条语句为家“，结论是什么
     c）假设包含99条语句，回答b

答案网上都有，我是给出自己的分析过程：（思路大概是：如果这句话话为真，推出这句话的内容为真，由这句话的内容又能推出其余话的是不是为真，再根据其余话的内容来判断是不是矛盾。主要就是看这句话为真与这句话的内容为真是不是矛盾。分清这句话和这句话的内容，就明了了）
a）p1，p2,.....p100分别代表这个100条语句。
假设p1为真，根据p1的内容，既然只有1个语句为假了，那后面的99条语句说的全不是只有1个为假，说明后面99条全为假。可既然后面99条全为假了，那说明这个列表有99条为假，但是p1说只有1个为假，条件和结论相矛盾。所以假设不成立，说明p1为假。
同样的方法推断p2。假设p2为真，根据p2内容，后面的98条全是假的了，再算上p1已经为假了，说明列表里有99条为假，与p2内容矛盾。所以假设不成立，说明p2也为假。
同样推断出p3到p98也都是假的。
再看p99，假设p99为真，首先前面98条已经证明为假的了，再根据p99的内容”恰有99条为假“，还差1条，说明p100肯定为假。而从p100的内容”恰有100条语句“来判断，p100也确实为假（因为p99为真的，所以p100的内容是不对的）。这个由条件到结果是不矛盾的。保险起见，再假设p99为假的，因为前面98个已经证明为假了，而p99也假设为假了，现在共有99条假的了，再根据p99的内容，说明p100也必须为假，因为如果p100为真的话，那p99就是真话了。如果p100也为假的话，那说明这个列表全部都为假了，可是这样又到底了p100的内容是真的，条件到结论矛盾。再次证明了p99为真
再看p100，现在已知98都为假，p99为真，p99既然为真，那他的内容就是一个事实”恰有99条为假“，还差1条，只能说明p100为假了，如果p100为假的话，那么p100所陈述的内容就是假的，而事实也确实说明p100的内容为假。
所以最后的结果是：除了p99，其余全为假。
b）这个要反过来推到
先假设p100为真，那p100的内容就是真的”至少有100条假“，因为总共就100条，说明全都为假，可既然100条都是假，那p100也是假的，又矛盾了。表明p100应该为假的。（也可以从另外一个角度证明，p100的内容”至少有100条假“是真的，说明”至少有99条、98条、1条为假“都是真的，前面99条都为真的，那怎么还能至少100条为假呢，矛盾。表明p100为假）
同样方法推断p99，假设p99为真，由p99的内容推断p1到p98都为真，而p1到p98都为真显然是与p99的内容不符合的，矛盾。表明p99为假。
同样推断出p98到p51都为假的。
再看p50，假设p50为真，由p50的内容推断p1到p49也都为真，说明50条为假的语句只能是p51到p100了，而事实上p51到p100也确实都为假，不矛盾。表明p50应该为真。保险期间，我们再假设p50为假，那说明p50的内容”至少50条语句为假“是不对的，可是p51到p100这50条语句已经证明为假了，矛盾。再次表明p50应该为真。
接着看p49，假设p49为真，由p49的内容推断p1到p48都为真，而p51到p100都为假，也论证了p49的内容是没错的，没有矛盾。p49为真
同理推断出p48到p1也都为真。
所以最后的结果是：p1到p50为真，其余为假。
c）同样方法推断出p99到p51为假
推断p50，假设p50为真，由其内容推断出p1到p49都为真，一共99条语句，p1到p49为真，p50也假设为真了，只剩下49条语句根本凑不成50条为假了，所以矛盾，p50为假。可是p50如果为假的，由于p51到p99这49条已经为假了，再加上p50又为假，说明这个列表确实至少有50个为假，这样说明p50的内容是对的，p50应该是真的，再次矛盾。可见无论p50为真还是为假，都矛盾。说明这是个悖论。