并查集（Disjoint Set）

Posted 2020-08-16 shadowwalker9

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了并查集（Disjoint Set）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

http://www.cnblogs.com/cyjb/p/UnionFindSets.html

http://blog.csdn.net/dm_vincent/article/details/7655764

http://blog.csdn.net/dm_vincent/article/details/7769159

并查集（Union-find Sets）是一种非常精巧而实用的数据结构，它主要用于处理一些不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求连通子图、求最小生成树的 Kruskal 算法和求最近公共祖先（Least Common Ancestors, LCA）等。

使用并查集时，首先会存在一组不相交的动态集合 $S = {S_{1}, S_{2}, \dots, S_{k}}$

每个集合可能包含一个或多个元素，并选出集合中的某个元素作为代表。每个集合中具体包含了哪些元素是不关心的，具体选择哪个元素作为代表一般也是不关心的。我们关心的是，对于给定的元素，可以很快的找到这个元素所在的集合（的代表），以及合并两个元素所在的集合，而且这些操作的时间复杂度都是常数级的。

并查集的基本操作有三个：

makeSet(s)：建立一个新的并查集，其中包含 s 个单元素集合。
unionSet(x, y)：把元素 x 和元素 y 所在的集合合并，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。
find(x)：找到元素 x 所在的集合的代表，该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以了。

并查集的实现原理也比较简单，就是使用树来表示集合，树的每个节点就表示集合中的一个元素，树根对应的元素就是该集合的代表，如图 1 所示。

图 1 并查集的树表示

图中有两棵树，分别对应两个集合，其中第一个集合为 ${a, b, c, d}$

树的节点表示集合中的元素，指针表示指向父节点的指针，根节点的指针指向自己，表示其没有父节点。沿着每个节点的父节点不断向上查找，最终就可以找到该树的根节点，即该集合的代表元素。

现在，应该可以很容易的写出 makeSet 和 find 的代码了，假设使用一个足够长的数组来存储树节点（很类似之前讲到的静态链表），那么 makeSet 要做的就是构造出如图 2 的森林，其中每个元素都是一个单元素集合，即父节点是其自身：

图 2 构造并查集初始化

相应的代码如下所示，时间复杂度是 $O (n)$

const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];
 
void makeSet(int size) {
    for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = i;
}

接下来，就是 find 操作了，如果每次都沿着父节点向上查找，那时间复杂度就是树的高度，完全不可能达到常数级。这里需要应用一种非常简单而有效的策略——路径压缩。

路径压缩，就是在每次查找时，令查找路径上的每个节点都直接指向根节点，如图 3 所示。

图 3 路径压缩

我准备了两个版本的 find 操作实现，分别是递归版和非递归版，不过两个版本目前并没有发现有什么明显的效率差距，所以具体使用哪个完全凭个人喜好了。

int find(int x) {
    if (x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]);
    return uset[x];
}
int find(int x) {
    int p = x, t;
    while (uset[p] != p) p = uset[p];
    while (x != p) { t = uset[x]; uset[x] = p; x = t; }
    return x;
}

最后是合并操作 unionSet，并查集的合并也非常简单，就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根，如图 4 所示。

图 4 并查集的合并

这里也可以应用一个简单的启发式策略——按秩合并。该方法使用秩来表示树高度的上界，在合并时，总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根。简单的说，就是总是将比较矮的树作为子树，添加到较高的树中。为了保存秩，需要额外使用一个与 uset 同长度的数组，并将所有元素都初始化为 0。

void unionSet(int x, int y) {
    if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;
    if (rank[x] > rank[y]) uset[y] = x;
    else {
        uset[x] = y;
        if (rank[x] == rank[y]) rank[y]++;
    }
}

下面是按秩合并的并查集的完整代码，这里只包含了递归的 find 操作。

const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];
int rank[MAXSIZE];
 
void makeSet(int size) {
    for(int i = 0;i < size;i++)  uset[i] = i;
    for(int i = 0;i < size;i++)  rank[i] = 0;
}
int find(int x) {
    if (x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]);
    return uset[x];
}
void unionSet(int x, int y) {
    if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;
    if (rank[x] > rank[y]) uset[y] = x;
    else {
        uset[x] = y;
        if (rank[x] == rank[y]) rank[y]++;
    }
}

除了按秩合并，并查集还有一种常见的策略，就是按集合中包含的元素个数（或者说树中的节点数）合并，将包含节点较少的树根，指向包含节点较多的树根。这个策略与按秩合并的策略类似，同样可以提升并查集的运行速度，而且省去了额外的 rank 数组。

这样的并查集具有一个略微不同的定义，即若 uset 的值是正数，则表示该元素的父节点（的索引）；若是负数，则表示该元素是所在集合的代表（即树根），而且值的相反数即为集合中的元素个数。相应的代码如下所示，同样包含递归和非递归的 find 操作：

const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];
 
void makeSet(int size) {
    for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = -1;
}
int find(int x) {
    if (uset[x] < 0) return x;
    uset[x] = find(uset[x]);
    return uset[x];
}
int find(int x) {
    int p = x, t;
    while (uset[p] >= 0) p = uset[p];
    while (x != p) {
        t = uset[x];
        uset[x] = p;
        x = t;
    }
    return x;
}
void unionSet(int x, int y) {
    if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;
    if (uset[x] < uset[y]) {
        uset[x] += uset[y];
        uset[y] = x;
    } else {
        uset[y] += uset[x];
        uset[x] = y;
    }
}

如果要获取某个元素 x 所在集合包含的元素个数，可以使用 -uset[find(x)] 得到。

并查集的空间复杂度是 $O (n)$

本文主要介绍解决动态连通性一类问题的一种算法，使用到了一种叫做并查集的数据结构，称为Union-Find。

更多的信息可以参考Algorithms 一书的Section 1.5，实际上本文也就是基于它的一篇读后感吧。

原文中更多的是给出一些结论，我尝试给出一些思路上的过程，即为什么要使用这个方法，而不是别的什么方法。我觉得这个可能更加有意义一些，相比于记下一些结论。

关于动态连通性

我们看一张图来了解一下什么是动态连通性：

$O (n)$

假设我们输入了一组整数对，即上图中的(4, 3) (3, 8)等等，每对整数代表这两个points/sites是连通的。那么随着数据的不断输入，整个图的连通性也会发生变化，从上图中可以很清晰的发现这一点。同时，对于已经处于连通状态的points/sites，直接忽略，比如上图中的(8, 9)。

动态连通性的应用场景：

网络连接判断：

如果每个pair中的两个整数分别代表一个网络节点，那么该pair就是用来表示这两个节点是需要连通的。那么为所有的pairs建立了动态连通图后，就能够尽可能少的减少布线的需要，因为已经连通的两个节点会被直接忽略掉。

变量名等同性(类似于指针的概念)：

在程序中，可以声明多个引用来指向同一对象，这个时候就可以通过为程序中声明的引用和实际对象建立动态连通图来判断哪些引用实际上是指向同一对象。

对问题建模：

在对问题进行建模的时候，我们应该尽量想清楚需要解决的问题是什么。因为模型中选择的数据结构和算法显然会根据问题的不同而不同，就动态连通性这个场景而言，我们需要解决的问题可能是：

给出两个节点，判断它们是否连通，如果连通，不需要给出具体的路径
给出两个节点，判断它们是否连通，如果连通，需要给出具体的路径

就上面两种问题而言，虽然只有是否能够给出具体路径的区别，但是这个区别导致了选择算法的不同，本文主要介绍的是第一种情况，即不需要给出具体路径的Union-Find算法，而第二种情况可以使用基于DFS的算法。

建模思路：

最简单而直观的假设是，对于连通的所有节点，我们可以认为它们属于一个组，因此不连通的节点必然就属于不同的组。随着Pair的输入，我们需要首先判断输入的两个节点是否连通。如何判断呢？按照上面的假设，我们可以通过判断它们属于的组，然后看看这两个组是否相同，如果相同，那么这两个节点连通，反之不连通。为简单起见，我们将所有的节点以整数表示，即对N个节点使用0到N-1的整数表示。而在处理输入的Pair之前，每个节点必然都是孤立的，即他们分属于不同的组，可以使用数组来表示这一层关系，数组的index是节点的整数表示，而相应的值就是该节点的组号了。该数组可以初始化为：

[java] view plain copy

print ?

for(int i = 0; i < size; i++)
id[i] = i;

即对于节点i，它的组号也是i。

初始化完毕之后，对该动态连通图有几种可能的操作：

查询节点属于的组

数组对应位置的值即为组号

判断两个节点是否属于同一个组

分别得到两个节点的组号，然后判断组号是否相等

连接两个节点，使之属于同一个组

分别得到两个节点的组号，组号相同时操作结束，不同时，将其中的一个节点的组号换成另一个节点的组号

获取组的数目

初始化为节点的数目，然后每次成功连接两个节点之后，递减1

API

我们可以设计相应的API：

$O (n)$

注意其中使用整数来表示节点，如果需要使用其他的数据类型表示节点，比如使用字符串，那么可以用哈希表来进行映射，即将String映射成这里需要的Integer类型。

分析以上的API，方法connected和union都依赖于find，connected对两个参数调用两次find方法，而union在真正执行union之前也需要判断是否连通，这又是两次调用find方法。因此我们需要把find方法的实现设计的尽可能的高效。所以就有了下面的Quick-Find实现。

Quick-Find 算法：

[java] view plain copy

print ?

public class UF
{
private int[] id; // access to component id (site indexed)
private int count; // number of components
public UF(int N)
{
// Initialize component id array.
count = N;
id = new int[N];
for (int i = 0; i < N; i++)
id[i] = i;
}
public int count()
{ return count; }
public boolean connected(int p, int q)
{ return find(p) == find(q); }
public int find(int p)
{ return id[p]; }
public void union(int p, int q)
{
// 获得p和q的组号
int pID = find(p);
int qID = find(q);
// 如果两个组号相等，直接返回
if (pID == qID) return;
// 遍历一次，改变组号使他们属于一个组
for (int i = 0; i < id.length; i++)
if (id[i] == pID) id[i] = qID;
count--;
}
}

举个例子，比如输入的Pair是(5， 9)，那么首先通过find方法发现它们的组号并不相同，然后在union的时候通过一次遍历，将组号1都改成8。当然，由8改成1也是可以的，保证操作时都使用一种规则就行。

上述代码的find方法十分高效，因为仅仅需要一次数组读取操作就能够找到该节点的组号，但是问题随之而来，对于需要添加新路径的情况，就涉及到对于组号的修改，因为并不能确定哪些节点的组号需要被修改，因此就必须对整个数组进行遍历，找到需要修改的节点，逐一修改，这一下每次添加新路径带来的复杂度就是线性关系了，如果要添加的新路径的数量是M，节点数量是N，那么最后的时间复杂度就是MN，显然是一个平方阶的复杂度，对于大规模的数据而言，平方阶的算法是存在问题的，这种情况下，每次添加新路径就是“牵一发而动全身”，想要解决这个问题，关键就是要提高union方法的效率，让它不再需要遍历整个数组。

Quick-Union 算法：

考虑一下，为什么以上的解法会造成“牵一发而动全身”？因为每个节点所属的组号都是单独记录，各自为政的，没有将它们以更好的方式组织起来，当涉及到修改的时候，除了逐一通知、修改，别无他法。所以现在的问题就变成了，如何将节点以更好的方式组织起来，组织的方式有很多种，但是最直观的还是将组号相同的节点组织在一起，想想所学的数据结构，什么样子的数据结构能够将一些节点给组织起来？常见的就是链表，图，树，什么的了。但是哪种结构对于查找和修改的效率最高？毫无疑问是树，因此考虑如何将节点和组的关系以树的形式表现出来。

如果不改变底层数据结构，即不改变使用数组的表示方法的话。可以采用parent-link的方式将节点组织起来，举例而言，id[p]的值就是p节点的父节点的序号，如果p是树根的话，id[p]的值就是p，因此最后经过若干次查找，一个节点总是能够找到它的根节点，即满足id[root] = root的节点也就是组的根节点了，然后就可以使用根节点的序号来表示组号。所以在处理一个pair的时候，将首先找到pair中每一个节点的组号(即它们所在树的根节点的序号)，如果属于不同的组的话，就将其中一个根节点的父节点设置为另外一个根节点，相当于将一颗独立的树编程另一颗独立的树的子树。直观的过程如下图所示。但是这个时候又引入了问题。