noi 2.6_9277Logs Stacking堆木头（DP）

Posted 2020-08-15 konjac蒟蒻

题意：给出在最底层的木头的个数，问有多少种堆放木头的方式。要求木头必须互相挨着在一起。

解法：f[i]表示最底层i个木头的堆放木头的方式。注意递推的思想！
只需知道上一层堆放0~i-1个（即最底层堆放i个木头）的方式数就可以利用加法原理得到f[i]。

方法一、用前缀和求解。
由于要求木头挨在一起，上层为1个时，相应有i-1个位置可放；2个时，相应为i-2。即：f[i]=f[0]+f[1]*(i-1)+f[2]*(i-2)...+f[i-1]   f[i-1]=f[0]+f[1]*(i-2)+f[2]+(i-3)... +f[i-2] ==》 f[i]=f[i-1]+f[1]+f[2]+...+f[i-1]=f[i-1]+sum[i-1]（sum[i]表示从f[1]到f[i]的和）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 using namespace std;
 6 #define N 200000
 7 #define mod 100000
 8 int sum[N],f[N];
 9 
10 int main()
11 {
12     int T,n;
13     scanf("%d",&T);
14     f[0]=1,sum[0]=0;//sum[i]:f[1~i]
15     for (int i=1;i<=N;i++)
16     {
17       f[i]=(f[i-1]+sum[i-1])%mod;
18       sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%mod;
19     }
20     while (T--)
21     {
22       scanf("%d",&n);
23       printf("%d\\n",f[n]);
24     }
25     return 0;
26 }

View Code 1

方法二、用斐波拉契数列。
由上面的式子可推出——f[i]=f[i-1]+(f[i-1]-f[i-2])+f[i-1]=3f[i-1]-f[i-2] 这就是斐波拉契数列的奇数项通式，而推导我不知道，但还是能发现i=1~...时，f[]=1,2,5,12,34.. 而斐波拉契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34...奇数项重合的。