NOIP考前模拟赛纯数学方法推导——旅行者问题

Posted 2020-08-15 にしきのまき

一、写在前面

这题似乎是一道原创题目（不是博主原创），所以并不能在任何OJ上评测，博主在网盘上上传了数据（网盘地址：http://pan.baidu.com/s/1mibdMXi），诸位看官需者自取。另外博主使用此题并没有获得出题人授权，如果出题人看到这篇blog并认为在下侵犯了您的权利，请用站内消息与在下联系，在下会立即删除这篇blog，给您带来的困扰之处敬请谅解。

博主上传这道题主要是因为这题牵扯许多数学运算，推导过程比较复杂，但是却没有用到任何算法或者数学定理，可以说这是一道想法题的典范。本篇blog中介绍的方法为博主原创，转载请标明出处。

二、题目

题目描述

lahub是一个旅行者的粉丝，他想成为一个真正的旅行者，所以他计划开始一段旅行。lahub想去参观n个目的地（都在一条直道上）。lahub在起点开始他的旅行。第i个目的地和起点的距离为ai千米（ai为非负整数）。不存在两个目的地和起点的距离相同。

从第i个目的地走到第j个目的地所走的路程为 |ai-aj|千米。我们把参观n个目的地的顺序称作一次“旅行”。lahub可以参观他想要参观的任意顺序，但是每个目的地有且只能被参观一次（参观顺序为n的排列）。

lahub把所有可能的“旅行”都写在一张纸上，并且记下每个“旅行”所要走的路程。他对所有“旅行”的路程之和的平均值感兴趣。但是他觉得计算太枯燥了，所以就向你寻求帮助。

输入

第一行一个正整数n。

第二行n个非负整数a1,a2,....,an（1≤ai≤10^7）。

输出

两个整数，答案用最简分数形式输出，第一个为分子，第二个为分母。

样例输入

3

2 3 5

样例输出

22 3

样例提示

样例有6种可能的旅行：

[2, 3, 5]: |2 – 0| + |3 – 2| + |5 – 3| = 5;

[2, 5, 3]: |2 – 0| + |5 – 2| + |3 – 5| = 7;

[3, 2, 5]: |3 – 0| + |2 – 3| + |5 – 2| = 7;

[3, 5, 2]: |3 – 0| + |5 – 3| + |2 – 5| = 8;

[5, 2, 3]: |5 – 0| + |2 – 5| + |3 – 2| = 9;

[5, 3, 2]: |5 – 0| + |3 – 5| + |2 – 3| = 8.

答案为 1/6 * （5+7+7+8+9+8）=44/6=22/3

数据范围

30% n<=10

50% n<=1000

100% n<=100000

三、题目分析

首先，我们不妨抛开题目背景，将题目大致翻译成一个数学题：

给出一个正整数n，并给出a₁、a₂……a_n共n个互不相同的正整数。对于序列a_n的每一种排列a_x1、a_x2……a_xn，令S_x=|a_x1-0|+|a_x2-a_x1|+……+|a_xn-a_xn-1|，求S的平均数。

由于题目明确说明，当i≠j时，不存在a_i=a_j的情况。那么，排列的总情况数就为n的全排列即n!种。

为了便于讲解，我们规定序列a_n严格升序（代码实现时只需要做一次sort处理）

通过对S的定义我们不难发现，若不考虑a_i作为a_xn的情况，对于每个i，在每个求S的算式中，a_i都会作为被减数和减数各出现一次。此外，由于当i=x_n时，a_i在算式中不作为减数出现，并且对于每个i，i=x_n的情况各有(n-1)!种，所以对于每个i，a_i总共作为被减数出现n!次，作为减数出现[n!-(n-1)!]次。

我们先讨论a_i作为被减数出现的情况：

当a_i作为被减数时，0和其余n-1个数都可以作为a_i的减数，且他们成为a_i的减数的机会是均等的（a_i雨露均沾？？）所以含0在内的n个数各会作为a_i的减数(n-1)!次。设a_j为a_i的减数，那么当且仅当j<i时，|a_i-a_j|去绝对值符号后会得到a_i-a_j；反之，当且仅当j>i时，|a_i-a_j|去绝对值符号后会得到a_j-a_i。由于当i合法时，0总比a_i小，所以我们可以得到有i个数使a_i去绝对值符号之后带正号，n-i个数使a_i去绝对值符号后带负号。

以上，我们整理后得到：a_i作为被减数时对ΣS的影响为：

同理，我们讨论a_i作为减数出现的情况：

当a_i作为减数时，其余n-1个数都可以作为a_i的被减数，且他们成为a_i的被减数的机会是均等的（a_i雨露均沾+1）所以其余n-1个数各会作为a_i的减数(n-1)!次（想一想，为什么）。设a_j为a_i的被减数，那么同上，当且仅当j<i时，|a_j-a_i|去绝对值符号后会得到a_i-a_j；反之，当且仅当j>i时，|a_j-a_i|去绝对值符号后会得到a_j-a_i。所以我们可以得到有i-1个数使a_i去绝对值符号之后带正号，n-i个数使a_i去绝对值符号后带负号。

以上，我们整理后得到：a_i作为减数时对ΣS的影响为：

综合以上两种情况，我们得到：a_i对ΣS的影响为：

最后，我们只需要将每个a_i对ΣS的影响结合起来，便得到了答案：

注意：1、记得将答案化简为最简分数后输出（分子、分母各除以其最大公约数）；

　　　 2、不开long long见祖宗，十年OI一场空。

四、代码实现

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 const int MAXN=100010;
 5 long long a[MAXN];
 6 long long gcd(long long x,int n)
 7 {
 8     long long xx=x,yy=n;
 9     while(yy)
10     {
11         long long t=xx%yy;
12         xx=yy;
13         yy=t;
14     }
15     return xx;
16 }
17 int main()
18 {
19     freopen("tourist.in","r",stdin);
20     freopen("tourist.out","w",stdout);
21     int n;
22     long long x=0;
23     scanf("%d",&n);
24     int i;
25     for(i=1;i<=n;++i)
26         scanf("%d",&a[i]);
27     sort(a+1,a+1+n);
28     for(i=1;i<=n;++i)
29         x=x+a[i]*(4*i-2*n-1);
30     long long g=gcd(x,n);
31     printf("%lld ",x/g);
32     printf("%d\\n",n/g);
33     fclose(stdin);
34     fclose(stdout);
35     return 0;
36 }

旅行者问题

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