MCMC&Gibbs sampling

Posted 2020-06-14

Note of Markov Chain Monte Carlo and Gibbs Sampling :  http://pan.baidu.com/s/1jHpWY1o

序：A major limitation towards more widespread implementation of Bayesian approaches is that obtaining thee posterior distribution often requires the integration of high-dimensional functions. Here the MCMC is used to solve this problem. There are two major method in the using of MCMC ---- Metropolis algorithm and Gibbs sampling.

1. Monte Carlo Integration

问题：计算一个复杂积分

解决方案：把 分解成 和 ，要求是概率密度函数，得到 ，将函数积分转换为随机变量函数的期望进行计算。，这里的xi是服从概率分布密度为的随机变量x的取值。

应用在贝叶斯理论中，后验概率。

1. Introduction to Markov Chain

介绍了马尔科夫过程，马尔可夫链，状态空间，转移概率，转移矩阵，以及切普曼-柯尔莫哥洛夫方程，平稳分布等概念。这里提及了从离散的平稳分布向连续状态进行过渡： à

1. The Metropolis-Hasting Algorithm

问题：从复杂的概率分布p(x)中采样。

解决方案：假如我们要从p(x)=f(x)/K中采样，但是K 并不已知且无法求取，则采取如下方法进行采样

a.设定初始值x0,要满足f(x0)>0;

b.利用现在的x值，从转移分布q（x1,x2）中采样一个候选参数x*,对这个转移分布的限制是q(x1,x2)=q(x2,x1);

c.计算 （这里用的是比值所以可以避开K 进行计算）；

d.如果alpha大于1则接受候选 x*;如果alpha小于1，则以概率alpha接受候选x*;然后返回到步骤b.

4. The Gibbs Sampler

这种采样方法应用在多变量的分布当中，在采样时，我们每次只对一个变量进行采样将其他变量固定。也就是说每次都是对一个单变量的条件分布进行采样，而不去理会联合分布，这样对n个变量进行轮流采样，进行k轮之后得到一个长度为k 的Gibbs Sequence 用来表示联合分布的采样。文章中的Example 4里列出了一个二维的联合分布的采样过程，他的两个条件分布分别为二项分布和Beta分布，很好的诠释 了Gibbs采样的流程和优势。

另外，这里还比较了吉布斯采样和EM算法的联系与区别。

EM每次都包含两个步骤：a.在固定参数下对隐变量求期望；b.固定隐变量的取值，利用极大似然的方法对参数数进行估计。

吉布斯采样则将隐变量和参数看成同等地位进行随机采样，可以看成是对EM算法的随机模拟。(原文:The Gibbs sampler can be thought of as a stochastic analog to the EM approaches used to obtain likelihood functions when missing data are present .)

参考:《统计学习方法》；

    《Pattern recognition and machine learning 》第十一章 .