树的经典问题和方法

Posted 2020-08-15 JebediahKerman

树的经典问题和方法

《算法竞赛入门经典（第2版）》392页

欧拉序列。对有根树t进行dfs（深度优先遍历），无论是递归还是回溯，每次到达一个结点时都将深度记录下来，可以得到一个长度为2n-1的序列，称为t的欧拉序列f(类似于欧拉回路)。

为了方便，把结点k在欧拉序列中第一次出现的序号记为pos(k)。

有了欧拉序列，lca问题可以在线性时间内化为rmq问题：lca(t,u,v)=rmq(b,pos(u),pos(v))。这里rmq返回的是下标而不是值本身。

这个等式不难理解：从u走到v的过程中一定会经过lca(t,u,v)，但不会经过lca(t,u,v)的祖先。因此，从u走到v的过程中经过的深度最小的结点就是lca(t,u,v)。

用dfs计算欧拉序列的时间复杂度是o(n)，且欧拉序列的长度是2n-1=o(n)，所以lca问题可以在o(n)的时间内转化成等规模的rmq问题。

树的动态查询问题1。给定一棵带边权的树，要求支持两种操作：修改某条边的权值和询问树中两点间的距离。

首先把无根树变成有根树，则把一条边u-v（假定u是v的父亲结点）的权值增加d时，以u为根的整个子树的“到根节点的距离”同时增加d。不难发现，一棵子树内的结点对应欧拉序列中的一段连续序列，因此如果用dist[i]表示欧拉序列中第i个结点到根的距离，则修改操作就是dist数组上的“区间增量”，而查询时的距离(u,v)等于dist(u)+dist(v)-2dist(w)，其中w=lca(u,v)。这样，只需用一个支持快速区间增量和单点查询的数据结构（例如fenwick树或者线段树）来维护dist数组，就可以在o(log n)的时间内支持两个操作。

轻重路径剖分。给定一棵有根树，对于每个非叶节点u，设u的子树中结点数最多的子树的树根为v，则标记(u,v)为重边，从u出发往下的其它边均为轻边。

根据上面的定义，只需一次dfs就能把一棵树分解成若干重路径（重边组成的路径）和若干轻边。有些资料也把重路径称为树链，因此轻重路径剖分也称树链剖分。

路径剖分最重要的定理如下：若v是u的子结点，(u,v)是轻边，则size(v)<size(u)/2，其中size(u)表示以u为根的子树中的结点总数。

证明并不复杂。由定义，所有非叶结点都有一条重边。假设size(v)>=size(u)/2，那么对于u向下的重边(u,w)来说，size(w)>=size(v)>=size(u)/2，因此size(u)>=1+size(v)+size(w)>=1+size(u)，与假设矛盾。

由此可以得到如下重要结论：对于任意非根结点u，在u到根的路径上，轻边和重路径的条数均不超过log₂n因为每碰到一条轻边size值就会减半。

树的动态查询问题2。给定一棵带边权的树，要求支持两种操作：修改某条边的权值和询问树中两点之间唯一路径上的最大边权。

首先把无根树变成有根树并且求出路径剖分。任意结点u到其根节点x的简单路径中包含一些轻边和重路径，但这些重路径可能并不是原树中的完整重路径，而是一些“片段”，因此可以在轻边中直接保存边权，而用线段树维护重路径。这样两个操作都不难实现。

修改：轻边直接修改，重边需要在重路径对应的线段树中修改。

查询：设lca(u,v)=p，则只需求出u到其祖先p之间的最大变权maxw(u,p)，再用类似的方法求出maxw(v,p)，则答案为max{maxw(u,p),maxw(v,p)}。为了求出maxw(u,p)，依次访问u到p之间的每条重路径和轻边即可。根据刚才的结论，轻边和重路径的条数均不超过log₂n。这样，修改的时间复杂度为o(log n)，查询的时间复杂度为o(log²n)。虽然存在时间复杂度更低的方法，但上述方法已经很实用了。