分治法实现两个方阵相乘

Posted 2020-08-15 xgboost

A、B是两个n*n的矩阵，计算C=A*B。

传统算法：

按照下面公式计算，需要n3次乘法和n3-n2次加法，时间复杂度为Θ(n3)。

递归算法：

假定n为2的幂，将A、B、C分成4个大小为(n/2)*(n/2)的子矩阵。

用分治法来计算C。

需要8次(n/2)*(n/2)矩阵的乘法和4次(n/2)*(n/2)矩阵的加法，其中乘法是原来的1/8倍消费，加法是原来的1/4倍耗费。用m表示n=1是乘法的耗费，用a表示加法的耗费。
于是有了下面的递推式：

可以推出：

同样需要n3次乘法和n3-n2次加法，与传统方法相比，时间复杂度没有改进，反而还增加了递归带来的管理开销。

Strassen算法：

复杂度为o(n3)，运行时间渐进少于n3。
像递归方法一样划分矩阵，但在计算C的时候有一些不同。
首先计算出一些中间值：

再由这些中间值得出C：

Strassen算法进行了18次加法和7次乘法。对于运行时间有如下的递推式：

经过计算可得，运行时间为Θ(nlog7)=O(n2.81)。

三个算法的比较：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;

const int dim=20; //最高的维度,可调
int mod=1000000007; // 结果取的模,可调
int mk=5;// 运算时是运算几维矩阵的,可调

struct Matrix
{
    ll a[dim][dim];
    Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
};


Matrix operator *(const Matrix& a,const Matrix& b)
{
    Matrix ret;
    for(int i=0;i<mk;++i)
        for(int j=0;j<mk;++j)
            for(int k=0;k<mk;++k)
            {
                ret.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
                ret.a[i][j]%=mod;
            }
    return ret;
}
Matrix operator ^(Matrix x, ll n)
{
    Matrix ret;
    for(int i=0;i<mk;++i)ret.a[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ret=ret*x;
        x=x*x;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    int a;
    cin>>a;
}