《算法导论》——chaper30-多项式与快速傅里叶变换

Posted 黑大帅之家

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了《算法导论》——chaper30-多项式与快速傅里叶变换相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

  两个n次多项式的相加最直接的方法所需要的时间是O(n),而实现两个n次多项式的乘法的直接方法则需要O(n^2),本章讨论的快速傅里叶变换(FFT),将会将这一过程的时间复杂度降至O(nlogn).同时本章也会给出一些FFT现实应用.

                         

  多项式的两种表示形式:

 

 

 

    通过上面的推导,我们简单总结一下得到的结论。

 

 

 

 

  而接下来问题的核心是,如果优化求值和插值过程的时间复杂度,求值过程直观的来看,时间复杂度是O(n^2),而插值过程需要解线性方程组,需要的时间复杂度更高。

  为了算法的优化,我们需要引入一些复变函数的知识.

 

  下面这个是以n=8为例做出的草图。

 

  容易看到对于一个周期内,k=0,1,2,…,7分别有8个不等的复数解.

 

 

   以上详细给出了复变函数中的一些知识,需要尤为注意折半引理,这个引理是后面优化算法的核心,也是设计递归算法的核心所在。

     

    

   

   4,5行定义了主n次单位根和第一个根,这是为了在后面得到n个n次单位复数根.

   8,9行是基于折半引理的递归过程。

   10,11,12,13是根据递归“回归”的部分,即根据分治的结果得到母问题的解。13行的设置,结合循环,完成更新w的值的任务。

  

   简单的考察FFT的时间复杂度,有如下等式:

  T(n)=2T(n/2)+O(n)=O(nlgn)

 

 

  以上我们完成了对次数界为n的多项式的快速求值,即多项式的系数表达到多项式的点值表达。下面则开始讨论对次数界为n的多项式在n个点处的快速插值,即多项式的点值表达到多项式的系数表达。这个过程我们也称其为逆DFT。

 

 

 

  那么我们给出下图,便可以基于上述理论加速两个n次多项式的乘法了(O(nlgn))。

                

以上是关于《算法导论》——chaper30-多项式与快速傅里叶变换的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

快速傅里叶变换学习笔记

FFT快速傅里叶变换

数学笔记:FFT(快速傅里叶变换)

快速傅里叶变换FFT及其延伸(只是一个引导)

快速傅里叶变换FFT及其延伸(只是一个引导)

快速傅里叶变换(FFT)