并查集的简介

Posted 2020-08-15 Excaliburer`s Zone

　　最近做题用到了并查集索性就把自己所掌握的相关知识总结一下。

　　并查集(union-find sets),CLRS上称为disjoint-set,是一组不相交的动态集合S1,S2,....Sk。它能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用比较广泛，如其求无向图的连通分量个数，利用Kruskar算法求最小生成树等。它的主要操作为分为三部分：

1.初始化集合,Make_set()。即将数组中每个元素单独划分成一个个集合，也就是每个元素的祖先节点（和父亲节点）是它本身。假设数组P用来存所有节点,则可表示如下:

for(int i = 0; i < size; i++)  
    p[i] = i;    //其中p[i] = m 表示元素i的父亲节点为m

2.对不同集合进行合并，Union(x,y)。将包含元素x和元素y的两个集合合并成一个集合实，质是对于x和y的祖先节点不是同一节点，把y的祖先点变成x的祖先节点，这样x,y的祖先节点就相同了；(含y的树就变成含x的树的一颗子树了)x,y就属于同一集合了。可表示如下：

void Union(int x,int y)  
{  
    int px = Find(x),py = Find(y);  
    if(px != py)  
    {  
        p[py]=px;  //吧
    }  
}   
  

3.查找元素所在的集合，Find(x)。返回元素x所在的集合，实质是找到x的祖先节点。可表示如下：

int Find (int x)//实质是找到x的祖先节点
{
　　int r = x;
　　while(p[r] != r) //通过不停迭代来找到x的祖先节点
　　r = p[r];
return r;
}

　　

以上是并查集最基本的应用，然而实际问题中，需要对并查集的几种操作进行优化。

1.对Find(x)的优化。

由于Find(x)是找到x的祖先节点，寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find(x)都是O(n)的复杂度，此时Find函数的性能比较差。

此时，可考虑"路径压缩"的方法，来减少查找次数。即经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Findt(x)时复杂度就变成O(1)了，所以树的结构变成如下的形式:

其具体操作如下：

int Find(int x)//返回x的祖先节点
{
    if (x != p[x])
    {
       p[x] = Find(p[x]); //回溯进行路径压缩，此处用的递归实现，递归便于理解；当然也可以用迭代实现;
    }
    return p[x];
}
 

2.对Union(x,y)的优化。

在上面对Union(x,y)的实现中，每当px!=py时，就让y的祖先节点指向x的祖先节点，如果含y的树的高度大于含x树的高度的话，整棵树就变成了一颗高度更大的树了。树的高度增加，必然带来性能的下降,find函数效率下降。所以我们应该考虑树的大小，然后再来决定到底是调用：

　　p[py] = px 或者是 p[px] = py.

于是现在的问题就变成了：树的大小该如何确定？(此时树的大小称为秩)

可以通过设定一个数组s来存树的大小，在初始情况下，每个组的大小都是1，因为只含有一个节点，对该数组的初始化也很直观：

for (int i = 0; i < size; i++)  
    s[i] = 1;    // 初始情况下，每个组的大小都是1 

所以初始化函数Make_set()应变为：

void Make_Set()
{
    for (int i = 0; i < size; i++)  
{
        p[i] = i; //初始化集合 
        s[i] = 1; //初始化树的代销
     
}
}

而在进行合并的时候，会首先判断待合并的两棵树的大小，然后按照上面的思想进行合并，此时Union(x,y)又称为按秩合并，其实现代码如下：

 void Union(int x, int y)  
{  
    int px = Find(x);  
    int py = Find(y);  
    if (px == py) 
          return;  
    
    if (sz[px] < sz[py]) // 将小树作为大树的子树  
 {      p[px] = py; 
        s[py] += s[px];
 }  
    else { 
        p[py] = px;  
        s[px] += s[py];
 }  
    
}      

至此，并查集的相关内容介绍完毕。此外，分享一个有趣的相关介绍:http://blog.csdn.net/dellaserss/article/details/7724401/

参考:1.http://www.ahathinking.com/archives/10.html

　　 2.http://blog.csdn.net/dm_vincent/article/details/7655764