每日算法快速幂

Posted jiange_zh

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了每日算法快速幂相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

数值的整数次方

实现函数

double Power(double base, int n) 

求base的n次方,不得使用库函数,同时不需要考虑大数问题。

Tips

问题本身很直观,但是越简单的题越需要细心思考,包括边界问题和效率问题,如果不能考虑到以下3点,就无法给出令人满意的答案:

  1. 考虑n为负数的情况;
  2. 考虑base为0的情况;
  3. 当n较大时,如何保证效率?

分析

针对上面3个问题,我们逐一解答:

1.在计算的时候,我们统一计算base的 abs(n)次方,最后如果是负数,答案应该取倒数;

2.如果base为0,则它不能做分母,此时若n<0,则我们应该返回错误信息。

关于返回错误信息,一般有以下方法:

  • 通过返回值;
  • 通过全局变量;
  • 抛出异常;

在这里,我们注意到返回值本身可以取任意值,所以不能单纯靠返回值;如果仅设置全局变量,那么每次计算之后都有检查,比较麻烦;我们可以选择返回值+全局变量的形式来返回错误:

如果有错,返回0,且设置全局变量。

3.当n较大时,可使用快速幂:

若n为偶数, base^n = base^(n/2) * base^(n/2);
若n为奇数, base^n = base * base^((n-1)/2) * base^((n-1)/2);

解答

下面是Power函数:

bool error = false;
double Power(double base, int n)
{
    error = false;
    if (equal(base, 0.0) && n < 0)
    {
        error = true;
        return 0.0;
    }
    unsigned int absN = (unsigned int)n;
    if (n < 0)
        absN = (unsigned int)(-n);
    double result = PowerWithUnsignedN(base, absN);
    if (n < 0)
        result  = 1.0/result;
    return result;
}

Notice:对于小数,判断是否相等不能直接用 == ,而应该计算两者的差值在一个精度范围内:

bool equal(int num1, int num2)
{
    if ((num1-num2) > -0.0000001 && (num1-num2) < 0.0000001)
        return true;
    else
        return false;
}

下面是核心的快速幂的递归版本:

double PowerWithUnsignedN(double base, unsigned int n)
{
    if (0 == n) return 1;
    if (1 == n) return base;
    double res = PowerWithUnsignedN(base, n>>1);
    res *= res;
    if (n & 1) //n为奇数
        res *= base;
    return res;
}

一般情况下,以上代码已经很完美了~

不过如果你更加追求效率,想必递归版本并不能满足你,那么可以试一试下面的非递归版本:

double PowerWithUnsignedN(double base, unsigned int n)
{
    double res = 1.0;
    while (n > 0)
    {
        if (n & 1)
            res *= base;
        base *= base;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

关于快速幂,我们常常用来做快速幂取模等,稍微复杂一点,我们可以用它来做矩阵的快速幂,原理是一样的,只是操作的对象是一个矩阵而不是一个数(矩阵快速幂以求斐波那契数列较为著名,此处暂不展开,后面会开专题写斐波那契数列,有兴趣的读者可以先自行查找相关资料)。

每天进步一点点,Come on!
(●’?’●)


本人水平有限,如文章内容有错漏之处,敬请各位读者指出,谢谢!

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