8VC Venture Cup 2016 - Elimination Round E. Simple Skewness（枚举+三分）

Posted 2020-06-14 AC_Arthur

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题意：给你n个数， 要求选若干个数， 使得这些数的平均数减去中位数尽量大。

思路：由于该题没有顺序问题， 排好序之后我们可以枚举中位数， 可以证明， 奇数个数一定比偶数优，然后三分中位数左右区间长度x（数的个数）， 在中位数的右边选最大的x个数， 在左边也选最大的x个， 这样， 随着区间长度的增加， 平均数将先增大后减小， 或者一直减小，或者一直增大。

为什么呢？ 假设第一次的区间长度是1， 那么我们选择了两边最大的两个数， 假设他们加起来取平均大于中位数， 那么对答案有正的影响，提高了平均数的大小， 但是第二次取得两个数加和一定小于等于第一次， 当某一次， 如果加和平均数比中位数小， 那么从此就会不断产生负的影响，拉低了平均数， 所以答案又下降了，  所以是先增加后减小。 那么最大平均数就是先增加后减小的。

细节参见代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int mod = 1000000000 + 7;
const double INF = 1000000000;
const int maxn = 201100;
int T,n,m,a[maxn];
ll sum[maxn];
void pre() {
    sort(a+1, a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i] = sum[i-1] + a[i];

}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    pre();
    ll pos = 1, len = 0;
    ll ans = 0;
    for(int i=2;i<=n-1;i++) {
        ll l = 1, r = min(i-1, n - i), mid, mmid;
        for(int j=1;j<=100;j++) {
            mid = (2*l + r) / 3;
            mmid = (l + 2*r + 2) / 3;
            ll m1 = (sum[i] - sum[i-mid-1] + sum[n] - sum[n-mid]);
            ll m2 = (sum[i] - sum[i-mmid-1] + sum[n] - sum[n-mmid]);
            if(m2*(mid*2+1) <= m1*(mmid*2+1)) r = mmid - 1;
            else l = mid + 1;
        }
        double cur = (double)(sum[i] - sum[i-l-1] + sum[n] - sum[n-l]) - (2*l+1)*a[i];
        if(ans*(2*l+1) < cur*(2*len+1)) { //为了避免精度问题， 转化为整数比较
            ans = cur;
            len = l;
            pos = i;
        }
    }
    printf("%I64d\n",len*2+1);
    for(int i=pos-len;i<=pos;i++) printf("%d ",a[i]);
    for(int i=n-len+1;i<=n;i++) printf("%d%c",a[i],i == n ? '\n' : ' ');
    return 0;
}