[Usaco2009 Dec]Toll 过路费

Posted 2020-08-14

　　题面：

跟所有人一样，农夫约翰以着宁教我负天下牛，休教天下牛负我(原文:宁我负人,休教人负我)的伟大精神，日日夜夜苦思生财之道。为了发财，他设置了一系列的规章制度，使得任何一只奶牛在农场中的道路行走，都要向农夫约翰上交过路费。

农场中由N（1 <= N <= 250）片草地（标号为1到N），并且有M（1 <= M <= 10000）条双向道路连接草地A_j和B_j（1 <= A_j <= N; 1 <= B_j <= N）。奶牛们从任意一片草地出发可以抵达任意一片的草地。FJ已经在连接A_j和B_j的双向道路上设置一个过路费L_j（1 <= L_j <= 100,000）。

可能有多条道路连接相同的两片草地，但是不存在一条道路连接一片草地和这片草地本身。最值得庆幸的是，奶牛从任意一篇草地出发，经过一系列的路径，总是可以抵达其它的任意一片草地。

除了贪得无厌，宁智贤都不知道该说什么好。FJ竟然在每片草地上面也设置了一个过路费C_i（1 <= C_i <= 100000）。从一片草地到另外一片草地的费用，是经过的所有道路的过路费之和，加上经过的所有的草地（包括起点和终点）的过路费的最大值。

任劳任怨的牛们希望去调查一下她们应该选择那一条路径。她们要你写一个程序，接受K（1 <= K <= 10,000）个问题并且输出每个询问对应的最小花费。第i个问题包含两个数字s_i和t_i（1 <= s_i <= N; 1 <= t_i <= N; s_i != t_i），表示起点和终点的草地。

考虑下面这个包含5片草地的样例图像:




从草地1到草地2的道路的“边过路费”为3，草地2的“点过路费”为5。

要从草地1走到草地4，可以从草地1走到草地3再走到草地5最后抵达草地4。如果这么走的话，
需要的“边过路费”为2+1+1=4，需要的点过路费为4（草地5的点过路费最大），所以总的花
费为4+4=8。

而从草地2到草地3的最佳路径是从草地2出发，抵达草地5，最后到达草地3。这么走的话，边
过路费为3+1=4，点过路费为5，总花费为4+5=9。

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思路：

　　非常神奇的一道题，对弗洛伊德摸得很透才能A掉，仍然是找最短路径，但是多了经过点的花费。

仍然使用弗洛伊德枚举过渡点。但需要加上比较起点，终点和每个过渡点花费的代码。

大体上是这个样子

 1 for(int t=1;t<=n;t++)
 2     {
 3         int k=dian[t].id;//点的编号
 4         for(int i=1;i<=n;i++)
 5             for(int j=1;j<=n;j++)
 6             {
 7                 dis[i][j]=dis[j][i]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);//弗洛伊德找最短路
 8                 g[i][j]=g[j][i]=min(g[i][j],dis[i][j]+max(dian[t].v,max(w[i],w[j])));//比较出起点终点和过渡点的最大值，然后加上最短路的值。
 9             }
10     }

 

当然，我们还需要把全部的点按照花费升序排序，这样可以保证每条路径上后循环到的过渡点花费更大，不会出现错误。

举个例子吧： 

　　按照题目中给的图，假设走1,2,4,5这条路，由于根据点的花费排序，我们第一次搜到的过渡点必然是4，也就是1,4,5这三个点比较，然后将最大值加上路径花费并记录。之后的某个时刻会搜到1,2,5这三个点，值就可以更新。假如不排序，最后的结果就是按照1,4,5来算，显然是错误的。

代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 const int maxn=10010;
 7 int dis[260][260],w[260],g[260][260],n,m,k;
 8 struct f
 9 {
10     int v,id;
11 }dian[260];
12 bool pan(f a,f b)
13 {
14     return a.v<b.v;
15 }
16 void init()
17 {
18     cin>>n>>m>>k;
19     for(int i=1;i<=n;i++) 
20     {
21         cin>>dian[i].v;
22         dian[i].id=i;
23         w[i]=dian[i].v;
24     }
25     sort(dian+1,dian+n+1,pan);
26     memset(dis,10,sizeof(dis));
27     memset(g,10,sizeof(g));
28     for(int i=1;i<=m;i++)
29     {
30         int x,y,v;
31         cin>>x>>y>>v;
32         if(v<dis[x][y])
33         dis[x][y]=v;
34         if(v<dis[y][x])
35         dis[y][x]=v;
36     }
37 }
38 void floyed()
39 {
40     for(int i=1;i<=n;i++)
41         g[i][i]=dian[i].v;
42     for(int t=1;t<=n;t++)
43     {
44         int k=dian[t].id;
45         for(int i=1;i<=n;i++)
46             for(int j=1;j<=n;j++)
47             {
48                 dis[i][j]=dis[j][i]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);
49                 g[i][j]=g[j][i]=min(g[i][j],dis[i][j]+max(dian[t].v,max(w[i],w[j])));
50             }
51     }
52 }
53 int main()
54 {
55     memset(dis,10,sizeof(dis));
56     memset(dian,0,sizeof(dian));
57     for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;
58     init();
59     floyed();
60      for(int i=1;i<=k;i++)
61     {
62         int st,ed;
63         cin>>st>>ed;
64         cout<<g[st][ed]<<endl;
65     }
66      return 0;
67     
68 }

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感谢Supersumax-MHZ提供的神奇代码