［转载］矩阵及变换，以及矩阵在DirectX和OpenGL中的运用问题：左乘/右乘,行优先/列优先

Posted 2020-08-14

［转载］http://www.xuebuyuan.com/882848.html

（一）首先，无论dx还是opengl，所表示的矢量和矩阵都是依据线性代数中的标准定义的：
“矩阵A与B的乘积矩阵C的第i行第j列的元素c(ij)等于A的第i行于B的第j列的对应元素乘积的和。”（实用数学手册，科学出版社，第二版）
例如c12 = a11*b11+a12*b21+a12*b13...

（二）在明确了这一点后，然后我们再看“矩阵的存储方式”，矩阵存储方式有两种，一种是“行主序（row-major order）/行优先”，另一种就是“列主序（column-major order）/列优先”
1）Direct3D 采用行主序存储

“Effect matrix parameters and HLSL matrix variables can define whether the value is a row-major or column-major matrix; however, the DirectX APIs always treat D3DMATRIX and D3DXMATRIX as row-major.”（见d3d9 document/Casting and Conversion 一节）
2）OpenGL 采用列主序存储
“The m parameter points to a 4x4 matrix of single- or double-precision floating-point values stored in column-major order. That is, the matrix is stored as follows”
（见msdn glLoadMatrixf　API说明）

存储顺序说明了线性代数中的矩阵如何在线性的内存数组中存储，d3d 将每一行在数组中按行存储，而opengl将每一列存储到数组的每一行中：
　　　　  线性代数意义的同一个矩阵，在d3d 和　ogl 中却有不同的存储顺序
              线代：a11,a12,a13,a14               d3d :  a11,a12,a13,a14                   gl: a11,a21,a31,a41
                       a21,a22,a23,a24                         a21,a22,a23,a24                       a12,a22,a32,a42
                       a31,a32,a33,a34                         a31,a32,a33,a34                       a13,a23,a33,a43
                       a41,a42,a43,a44                         a41,a42,a43,a44                       a14,a24,a34,a44

（三）矩阵乘法顺序和规则

矩阵乘法在线性代数中的定义是确定的，然而在不同的实现中出现了“左乘”和“右乘”的区别，或者叫做“前乘（pre-multiply），后乘（post-multiply）”
这个规则取决于vector的表示形式，即行向量还是列向量。如果是行向量，其实就是一个行矩阵。那么表示线性代数意义的“行x列”，就是前乘。矩阵乘法也是如此。
如d3d中，
                        

                              

D3D 是行向量，行优先存储，OpenGL是列向量，列优先存储。同一个矩阵用D3D存储还是用opengl存储虽然不同，但是变换的结果却是相同，
因为opengl 变换向量是把向量视作列向量，并同矩阵的每一列相乘，用来实现线性代数中同一个变换。

我们通常很难看到opengl变换坐标的代码，以下代码出自opengl source code，让我们一窥顶点变换的“庐山真面目”

void FASTCALL __glXForm3(__GLcoord *res, const __GLfloat v[3], const __GLmatrix *m)
{
    __GLfloat x = v[0];
    __GLfloat y = v[1];
    __GLfloat z = v[2];

    res->x = x*m->matrix[0][0] + y*m->matrix[1][0] + z*m->matrix[2][0]
 + m->matrix[3][0];
    res->y = x*m->matrix[0][1] + y*m->matrix[1][1] + z*m->matrix[2][1]
 + m->matrix[3][1];
    res->z = x*m->matrix[0][2] + y*m->matrix[1][2] + z*m->matrix[2][2]
 + m->matrix[3][2];
    res->w = x*m->matrix[0][3] + y*m->matrix[1][3] + z*m->matrix[2][3]
 + m->matrix[3][3];
}

可见确实如上所述，“OPENGL列向量和矩阵的每一列相乘，仍然表示线性代数行向量和矩阵的每一行相乘”
再来看一下opengl 矩阵相乘，“用a的每一列去乘b的每一行”。

/*
** Compute r = a * b, where r can equal b.
*/
void FASTCALL __glMultMatrix(__GLmatrix *r, const __GLmatrix *a, const __GLmatrix *b)
{
    __GLfloat b00, b01, b02, b03;
    __GLfloat b10, b11, b12, b13;
    __GLfloat b20, b21, b22, b23;
    __GLfloat b30, b31, b32, b33;
    GLint i;

    b00 = b->matrix[0][0]; b01 = b->matrix[0][1];
        b02 = b->matrix[0][2]; b03 = b->matrix[0][3];
    b10 = b->matrix[1][0]; b11 = b->matrix[1][1];
        b12 = b->matrix[1][2]; b13 = b->matrix[1][3];
    b20 = b->matrix[2][0]; b21 = b->matrix[2][1];
        b22 = b->matrix[2][2]; b23 = b->matrix[2][3];
    b30 = b->matrix[3][0]; b31 = b->matrix[3][1];
        b32 = b->matrix[3][2]; b33 = b->matrix[3][3];

    for (i = 0; i < 4; i++) {
 r->matrix[i][0] = a->matrix[i][0]*b00 + a->matrix[i][1]*b10
     + a->matrix[i][2]*b20 + a->matrix[i][3]*b30;
 r->matrix[i][1] = a->matrix[i][0]*b01 + a->matrix[i][1]*b11
     + a->matrix[i][2]*b21 + a->matrix[i][3]*b31;
 r->matrix[i][2] = a->matrix[i][0]*b02 + a->matrix[i][1]*b12
     + a->matrix[i][2]*b22 + a->matrix[i][3]*b32;
 r->matrix[i][3] = a->matrix[i][0]*b03 + a->matrix[i][1]*b13
     + a->matrix[i][2]*b23 + a->matrix[i][3]*b33;

 

 

1。矩阵和线性变换：一一对应

矩阵是用来表示线性变换的一种工具，它和线性变换之间是一一对应的。
考虑线性变换：
a11*x1 + a12*x2 + ...+a1n*xn = x1‘
a21*x1 + a22*x2 + ...+a2n*xn = x2‘
...
am1*x1 + am2*x2 + ...+amn*xn = xm‘

对应地，用矩阵来表示就是：
|a11 a12 ... a1n   |   |x1|     |x1‘| 
|a21 a22 ... a2n   |   |x2|     |x2‘|
|...                      |* |...|=    |... |
|am1 am2 ... amn |   |xn|     |xm‘|

也可以如下来表示：
                   |a11 a21 ... am1| 
                   |a12 a22 ... am2|  
|x1 x2...xn|*|...                   |= |x1‘ x2‘... xm‘|      
                   |a1n a2n ... amn| 

其中涉及到6个矩阵。分别为A[m*n],X[n*1],X‘[m*1]以及X[1*n],A[n*m],X‘[1*m]。
可以理解成向量x(x1,x2,...,xn)经过一个变换矩阵A[m*n]或A[n*m]后变成另外一个向量x‘(x1‘,x2‘,...,xm‘))。

2。矩阵的表示法：行矩阵 vs. 列矩阵

行矩阵和列矩阵的叫法是衍生自行向量和列向量。
其实，矩阵A[m*n]可以看成是m个n维的row vector构成的row matrix，也可看成是n个m维的column vector构成的column matrix。
其中，X[n*1]/X‘[m*1]就等价于1个n/m维的column vector。X[1*n]/X‘[1*m]就等价于1个n/m维的row vector。
Row matrix和Column matrix只是两种不同的表示法，前者表示把一个向量映射到矩阵的一行，后者表示把一个向量映射到矩阵的一列。
本质上体现的是同一线性变换。矩阵运算规定了它们可以通过转置运算来改变这个映射关系。

3。矩阵的相乘顺序：前乘或左乘 vs. 后乘或右乘

需要注意的是两种不同的表示法对应不同的运算顺序：
如果对一个column vector做变换，则变换矩阵(row matrix/vectors)必须出现在乘号的左边，即pre-multiply，又叫前乘或左乘。
如果对一个row vector做变换，则变换矩阵(column matrix/vectors)必须出现在乘号的右边，即post-multiply，又叫后乘或右乘。
一般不会弄错，因为矩阵乘法性质决定了相同的内维数的矩阵才能相乘。至于为什么是这个规律，为什么要row vector乘以column vector或column vector乘以row vector???想想吧。。。

所以左乘还是右乘，跟被变换的vector的表示形式相关，而非存储顺序决定。

4。矩阵的存储顺序：按行优先存储 vs. 按列优先存储

涉及到在计算机中使用矩阵时，首先会碰到存储矩阵的问题。
因为计算机存储空间是先后有序的，如何存储A[m*n]的m*n个元素是个问题，一般有两种：按行优先存储和按列优先存储。

row-major：存成a11,a12,...,amn的顺序。
column-major：存成a11,a21,...,amn的顺序。

这样问题就来了，给你一个存储好的矩阵元素集合，你不知道如何读取元素组成一个矩阵，比如你不知道a12该放在几行几列上。
所以，每个系统都有自己的规定，比如以什么规则存储的就以什么规则读取。DX使用Row-major,OGL使用Column-major.即一个相同的矩阵A[m*n]在DX和OGL中的存储序列是不一样的,这带来了系统间转换的麻烦。

不过,一个巧合的事情是:DX中，点/向量是用Row Vector来表示的，所以对应的变换矩阵是Column Matrix/Vectors,而OGL中，点/向量是用Column Vector来表示的，所以对应的变换矩阵是Row Matrix/Vectors.所以,如果在DX中对一个向量x(x1,x2,x3,1)或点(x(x1,x2,x3,1))应用A[4*4]的矩阵变换，就是x‘ = x(x1,x2,x3,1) * A[4*4],由于采用Row-major，所以它的存储序列是a11,a12,...,a43,a44。在OGL中，做同样的向量或点的变换，因为其使用Row
Matrix/Vectors,其应用的变换矩阵应该是A‘[4*4] ＝ A[4*4]( ‘ 表示Transpose/转置)，就是x‘ = A‘[4*4] * x‘(x1,x2,x3,1),但是由于采用Column-major,它的存储序列正好也是a11,a12,...,a43,a44!!!
所以实际上,对DX和OGL来讲,同一个变换,存储的矩阵元素序列是一样的.比如:都是第13,14,15个元素存储了平移变化量deltaZ,deltaY,deltaZ.

Refs:

http://mathworld.wolfram.com/Matrix.html

http://www.gamedev.net/community/forums/topic.asp?topic_id=321862