[51nod1610]路径计数

Posted 2020-08-14 czllgzmzl

　　路径上所有边权的最大公约数定义为一条路径的值。
　　给定一个有向无环图。
　　T次修改操作，每次修改一条边的边权，每次修改后输出有向无环图上路径的值为1的路径数量(对1,000,000,007取模)。
　Input
　　第一行两个整数n和m，分别表示有向无环图上的点数和边数。（1<=n<=100，1<=m<=50,000）
　　第2~m+1行每行三个数x,y,z，表示有一条从x到y权值为z的边。(1<=x,y<=n，1<=z<=100)
　　第m+2行一个数T，表示修改操作次数(1<=T<=500)。
　　接下来T行每行两个数x,y,表示修改第x条边(按照读入的顺序)的边权为y(1<=x<=m,1<=y<=100)。
　Output
　　T+1行，修改前和每次修改操作后输出答案。

 

 

　　朴素的想法...一开始先求出f[i][j]表示在DAG上从i点开始的路径的值为j的方案数，然后每次修改边权的时候，只要求g[i][j]表示从i点开始，经过修改的那条边的路径的值为j的方案数，然后更新f[i][j]就好了（修改就是一次删除一次添加）。

　　为了跑得快一点...可以先求出拓扑序、预处理出每个点可以到达哪些点、修改的时候先计算一下有哪些路径值可能被影响...以避免不必要的计算和更新T_T

　　复杂度O(100*n*m+T*因子个数*m)大概4亿左右...最后900+ms险过..

 

　　正解是容斥、floyd....其实复杂度和正解也差不多？（常数感人

值为1的路径数量= sum{ 值为x的倍数的路径数量∗u[x] } ，1<=x<=100, u[x] 为莫比乌斯函数。
值为x的倍数的路径数量可以把所有边权为x的倍数的边取出来计算路径条数。
dp[x][i][j]表示只考虑所有边权为x的倍数的边时，点i到点j的路径数量。

初始化的时候，枚举x，然后跑一次floyd即可。
那么删除一条边权为k的倍数的、从x到y的边，可以用如下代码完成：

1 for(i=1;i<=n;++i)
2 {
3     for(j=1;j<=n;j++)
4     {
5         dp[k][i]][j]-=dp[k][i][x]*dp[k][y][j];
6     }
7 }

添加一条边类似，如此便可以做到修改边权的操作。
时间复杂度 O(100∗n^3+T∗因子个数∗n^2) 。

 

  1 #include<cstdio>
  2 #include<iostream>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<queue>
  6 #include<cmath>
  7 #include<bitset>
  8 #define ll long long
  9 #define ui unsigned int
 10 #define ull unsigned long long
 11 #define d double
 12 const int maxn=105,mxm=50023,modd=1000000007;
 13 struct zs1{int too,pre,dis;}e[mxm];int tot,last[maxn],x[mxm],y[mxm],val[mxm];
 14 struct zs{int zt,id;}a[maxn];int cnt;
 15 int p[maxn],np,mn[maxn],bel[maxn],zt[maxn];
 16 int dl[maxn],pos[maxn],deg[maxn],too[66][maxn];
 17 int f[maxn][66],g[maxn][9];
 18 int i,j,k,n,m;
 19 char s[maxn];
 20 
 21 int ra;char rx;
 22 inline int read(){
 23     rx=getchar(),ra=0;
 24     while(rx<\'0\'||rx>\'9\')rx=getchar();
 25     while(rx>=\'0\'&&rx<=\'9\')ra*=10,ra+=rx-48,rx=getchar();return ra;
 26 }
 27 
 28 
 29 inline void MOD(int &x){if(x>=modd)x-=modd;}
 30 inline void UPD(int &x){if(x<0)x+=modd;if(x>=modd)x-=modd;}
 31 
 32 bool cmpa(zs a,zs b){return a.zt<b.zt;}
 33 inline void prerun(){
 34     a[1]=(zs){0,1};
 35     for(i=2;i<=100;i++){
 36         for(j=1;j<=np;j++)if(!(i%p[j]))break;
 37         if(j>np)p[++np]=i,mn[i]=np;else mn[i]=j;
 38         int tmp=i;
 39         while(tmp>1)a[i].zt|=1<<(mn[tmp]-1),tmp/=p[mn[tmp]];
 40         a[i].id=i;
 41     }
 42     cnt=0,a[0].zt=-233,
 43     std::sort(a+1,a+1+100,cmpa);
 44     for(i=1;i<=100;bel[a[i].id]=cnt,i++)
 45         if(a[i].zt!=a[i-1].zt)zt[++cnt]=a[i].zt;
 46     
 47     for(i=0;i<=cnt;i++)for(j=1;j<=100;j++){
 48         int now=zt[bel[j]],k;
 49         if(i)now&=zt[i];
 50         for(k=1;zt[k]!=now;k++);
 51         too[i][j]=k;
 52     }
 53 }
 54 
 55 inline void insert(int a,int b,int c){e[++tot].too=b,e[tot].dis=c,e[tot].pre=last[a],last[a]=tot;}
 56 
 57 std::bitset<105> con[105];
 58 inline void topo(){
 59     int l=0,r=0,i,j,now,to;
 60     for(i=1;i<=n;i++){
 61         con[i][i]=1;
 62         if(!deg[i])dl[++r]=i;
 63     }
 64     for(i=1;i<=n;i++)f[i][0]=1;
 65     while(l<r)for(i=last[now=dl[++l]];i;i=e[i].pre){
 66         to=e[i].too,
 67         con[to]|=con[now];
 68         if(!--deg[to])dl[++r]=to;
 69         for(j=0;j<=cnt;j++)MOD(f[to][too[j][e[i].dis]]+=f[now][j]);
 70     }
 71     for(i=1;i<=n;i++)pos[dl[i]]=i;
 72 }
 73 
 74 int mp[23],id[maxn];
 75 inline void getg(int edge,int fh){
 76     register int i,j,k;
 77     int e_id=bel[val[edge]],e_x=x[edge],e_y=y[edge],e_dis=val[edge];
 78     int num=0,now,to;
 79     for(i=1;i<=cnt;i++)if((zt[i]&zt[e_id])==zt[i])mp[++num]=i,id[i]=num;
 80     
 81     memset(g[e_x]+1,0,num<<2);
 82     for(i=0;i<=cnt;i++)if(f[e_y][i])MOD(g[e_x][id[too[i][e_dis]]]+=f[e_y][i]);
 83     for(i=pos[e_x]+1;i<=n;i++){
 84         if(!con[now=dl[i]][e_y])continue;
 85         for(j=1;j<=num;j++)g[now][j]=0;
 86         for(j=last[now];j;j=e[j].pre)if(con[(to=e[j].too)][e_x])
 87             for(k=num;k;k--)
 88                 MOD(g[now][id[too[mp[k]][e[j].dis]]]+=g[to][k]);
 89     }
 90     for(i=pos[e_x];i<=n;i++)if(con[now=dl[i]][e_x])
 91         for(j=num;j;j--)if(g[now][j])UPD(f[now][mp[j]]+=fh*g[now][j]);
 92 }
 93 
 94 
 95 inline int getans(){
 96     int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)MOD(ans+=f[i][1]);
 97     return ans;
 98 }
 99 int main(){
100     prerun();
101     n=read(),m=read();
102     for(i=1;i<=m;i++)
103         x[i]=read(),y[i]=read(),val[i]=read(),
104         deg[x[i]]++,insert(y[i],x[i],val[i]);
105     topo(),printf("%d\\n",getans());
106     
107     int tmp=tot;tot=0,memset(last+1,0,n<<2);
108     for(i=1;i<=tmp;i++)insert(x[i],y[i],val[i]);
109     
110     for(int q=read();q;q--){
111         int edge=read(),v=read();
112         getg(edge,-1),val[edge]=e[edge].dis=v,getg(edge,1),printf("%d\\n",getans());
113     }
114 }

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