BZOJ-2732集合选数 状压DP （思路题）

Posted 2020-08-14 DaD3zZ

2734: [HNOI2012]集合选数

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Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。 

Input

 只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。 

Output

 仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。 

Sample Input

4

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

HINT

Source

day2

Solution

一开始真没想到..

就是写一个矩阵

$$\begin{bmatrix}x &  3x&  9x& ...&\\ 2x &  6x&  18x& ...&\\ 4x&  12x&  36x& ...&\\  ...&  ...&  ...&  ...& \end{bmatrix}$$

然后我们发现实际上就是需要求矩阵中，不允许出现相邻的两个数。

因为这个矩阵的列数是$log_{3}$，行数是$log_{2}$的，显然可以状压..

但是有些数并不会出现在这个矩阵中，所以构造完一个后，找下一个没出现过的x重新构造，乘法原理结合起来即可。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<‘0‘ || ch>‘9‘) {if (ch==‘-‘) f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) {x=x*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 100010
#define P 1000000001
int a[21][21],N,M,end[21];
LL f[21][2049],bin[21],ANS=1;
bool visit[MAXN];
inline void  Pre(int x)
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(end,0,sizeof(end)); end[0]=1;
    a[1][1]=x;
    for (int i=2; ; i++)
        if ((a[i-1][1]<<1)<=N) a[i][1]=a[i-1][1]<<1; else {M=i-1; break;}
    for (int i=1; i<=M; i++)
        for (int j=2; ; j++)
            if (a[i][j-1]*3<=N) a[i][j]=a[i][j-1]*3; else {end[i]=j-1; break;}
//    puts("======================================");
//    for (int i=1; i<=M; i++,puts(""))
//        for (int j=1; a[i][j]; j++)
//            printf("%d  ",a[i][j]);
//    puts("======================================");
    for (int i=1; i<=M; i++)
        for (int j=1; j<=end[i]; j++)    
            visit[a[i][j]]=1;
//    for (int i=1; i<=M; i++) printf("%d  ",end[i]); puts("");
}
inline LL DP(int x)
{
    Pre(x); memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0]=1;
    for (int i=0; i<=M; i++)
        for (int j=0; j<bin[end[i]]; j++)
            if (f[i][j])
                for (int k=0; k<bin[end[i+1]]; k++)
                    (f[i+1][k]=(!(j&k) && !(k&(k>>1)))? (f[i][j]+f[i+1][k]) : f[i+1][k])%=P;
    return f[M+1][0];
}
int main()
{
    N=read();
    bin[0]=1; for (int i=1; i<=20; i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
    for (int i=1; i<=N; i++) if (!visit[i]) (ANS*=DP(i))%=P;
    printf("%lld\n",ANS);
    return 0;
}

断断续续写了2节课....一开始边界搞得有问题特别不科学.....这是弱智，