HDU 1055 Color a Tree

Posted 2020-08-14 hchlqlz

题目：Color a Tree

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1055

题意：给一棵树，要给树上每一个结点染色，第i 个结点染色需要代价为：t * w[i] （t 表示i 结点是第几个染色的），还有一个前提是：要给i 结点染色，必须先给i 结点的父结点染色（根结点随便染）。

思路：

　　贪心。

　　假定当前未染色的结点中权值最大的是A结点，如果A结点上方都染完色，那么现在一定是对A结点进行染色。

　　理解如下：

　　假设在上述情况下先对其他结点染色，在t 时刻后才轮到A，那么到t 时刻为止，消耗代价为：t1 * w1 + t2 * w2 + ... + tn * wn + t * wA，因为A在初始就具备了染色条件，并且 t = tn + 1，wA > wn，所以A可以往前挪一位，即t1 * w1 + t2 * w2 + ... + tn * wA + t * wn 必然更优，这点很好理解（wa 可以分成 wn + x），而继续上面的操作，最终wa 可以挪到最前面，所以上述情况下，一定是对A结点进行染色。

　　现在问题就是当A结点不是根结点的时候（即A的父结点还没有染色），可以想象，如果等会A的父结点染完色，那么接下来一定是轮到A了（A的父结点染色后，A就是第一种情况了），既然他们的染色顺序一定相邻，所以两个结点可以结合在一起。把他们看作一个新的结点，而新结点的权值可以用他们的平均值代替，假设等会在t时刻轮到他们染色，那么消耗代价本来为t * wfa + (t + 1) * wa，所以ans 可以先加上wa，那么等会遇到这个结点时，就可以ans += t * (w[fa] + w[a])，然后t+=2。

　　因此，结点保存3个值：sum（w总和），num（合并的数量），w（找最大标志）。对于为什么可以用平均值作为新结点的权值也很好理解了，因为他后面的消耗代价为t * sum 即 t * wfa + t*wa（注意：加完这个，t要+2，而不是普通的+1），他们之间是不能中断的，那么他们两个放到什么位置就取决于他们的平均值了。  （即tn*wn + （tn+1）*w和 tn * w + （tn+2）*wn 的对比了）

AC代码：

  1 #include<stdio.h>
  2 #include<vector>
  3 using namespace std;
  4 #define N 1010
  5 #define LL long long
  6 struct Node
  7 {
  8   int num,sum;
  9   double w;
 10   Node(){}
 11   bool operator < (Node b) const
 12   {
 13     return w < b.w;
 14   }
 15 }v[N];
 16 
 17 int n;
 18 int fa[N];
 19 int f[N];
 20 
 21 int find(int x)
 22 {
 23   int p=x;
 24   while(p!=fa[p]) p=fa[p];
 25   int q;
 26   while(fa[x]!=p)
 27   {
 28     q=fa[x];
 29     fa[x]=p;
 30     x=q;
 31   }
 32   return p;
 33 }
 34 
 35 bool vis[N];
 36 int find()
 37 {
 38   int p = -1;
 39   double maxt = 0;
 40   for(int i=1;i<=n;i++)
 41   {
 42     if(vis[i]==1) continue;
 43     if(v[i].w > maxt)
 44     {
 45       maxt = v[i].w;
 46       p = i;
 47     }
 48   }
 49   return p;
 50 }
 51 
 52 int main()
 53 {
 54   int r,x,y;
 55   while(~scanf("%d%d",&n,&r))
 56   {
 57     if(n==0 && r==0) break;
 58     LL ans = 0;
 59     for(int i=1;i<=n;i++)
 60     {
 61       fa[i] = i;
 62       vis[i] = 0;
 63       scanf("%d",&v[i].sum);
 64       v[i].num = 1;
 65       v[i].w = 1.0 * v[i].sum / v[i].num;
 66     }
 67     vis[0] = 1;
 68     fa[0] = 0;
 69     f[r]=0;
 70     for(int i=1;i<n;i++)
 71     {
 72       scanf("%d%d",&x,&y);
 73       f[y]=x;
 74     }
 75     int t = 1;
 76     while(1)
 77     {
 78       int p = find();
 79 
 80       if(p==-1) break;
 81       if(vis[find( f[p] ) ] == 1)
 82       {
 83         ans += t * v[p].sum;
 84         t += v[p].num;
 85         vis[p] = 1;
 86       }
 87       else
 88       {
 89         vis[p]=1;
 90         int fp = find(f[p]);
 91         ans += v[p].sum * v[fp].num;
 92         v[fp].num += v[p].num;
 93         v[fp].sum += v[p].sum;
 94         v[fp].w = 1.0 * v[fp].sum / v[fp].num;
 95         fa[p] = fp;
 96       }
 97     }
 98     printf("%I64d\n",ans);
 99   }
100   return 0;
101 }
102 
103 /*
104 6 1
105 1 2 1 2 4 1
106 1 2
107 1 3
108 2 4
109 3 5
110 4 6
111 
112 39
113 */