坐标系变换

Posted 2020-08-14 CYRUS HO

1、simple question，一个二维向量在平面直角坐标系下坐标为[a,b]’，实际意义就是这个向量在x轴上投影长度为a，在y轴上投影长度为b。这是从向量分解的角度来说的。从向量合成的角度来说，就是这个向量由两个正交的向量相加而来，其中一个向量为a*x_hat，另外一个向量为b*y_hat，其中x_hat与y_hat是沿x轴正方向与y轴正方向的单位向量。多维向量同理。

 

2、fact，同一个向量在不同的坐标系之下，坐标通常不一样，除非这两个不同的坐标系对应的轴的取向一致，也就是说两个坐标系之间只有平移，没有旋转。

 

3、concept，如何在坐标系A下表示坐标系B的轴向，或者说两个坐标系之间的旋转变换矩阵。表示一个坐标系的轴向，就是表示这个坐标系的各个轴。以三维坐标系为例，坐标系B的x轴正方向单位向量，y轴正方向单位向量，z轴正方向单位向量在坐标系A下的表示为3个三维列向量，将这个三维列向量通过行stack的方式拼成一个3*3的矩阵，这个矩阵就是坐标系A到坐标系B的旋转变换矩阵R（AB）。R的元素其实就是两个坐标系各个轴正方向单位向量之间的内积。

 

4、fact，R（AB）和R（BA）互为逆矩阵，同时R（AB）与R（BA）互为转置。

 

5、单纯的概念可能没啥用，具体来说R（AB）一个最常用的应用就是，同一个向量如何在两个不同的坐标系之间进行转换坐标。假设向量k在坐标系A下坐标为P（A）=（a,b,c）‘，在坐标系B下坐标为P（B）=（m,n,l）’，这两个坐标如何通过R（AB）联系起来呢？根据1，我们来看看a的含义。a等于向量k在坐标系A的x轴的投影。而根据定义，向量k等于三个向量相加，这三个向量分别为m*xB_hat，n*yB_hat，l*zB_hat，所以a等于前述的三个向量在坐标系A的x轴的投影之和。m*xB_hat在坐标系A的x轴的投影就是m*xB_hat*xA_hat，同理可知a=m*xB_hat*xA_hat+n*yB_hat*xA_hat+l*zB_hat*xA_hat，这正是R（AB）的第一行与（m,n,l）’的乘积。于是，最后可以得到一个简单的公式P（A）=R（AB）*P（B）