约瑟夫环

Posted 2020-08-14 SarahLiu77

虽然这是一个最最基础不过的问题，但是基础也恰恰应该是我们能不费力气，信手拈来的东西。所以好好记一下这道题的做法还是很有必要的。

问题描述是说给你一个数n，让你从1开始到n报数，报到m的那个数字删掉，然后从后面再从1开始数，遇到数组结尾就从头开始继续往后，依次类推，问最后剩下的那个数字的原始编号是多少。

这个题最基本的解法就是模拟整个操作过程，然后输出最后剩下的那个数字即可。

代码如下：

 1 #include<iostream>  
 2 using namespace std;  
 3 int main()  
 4 {  
 5     int N;//人的总个数  
 6     int M;//间隔多少个人  
 7   
 8     cin>>N;  
 9     cin>>M;  
10   
11     bool *p=new bool[N+1];//[1……N]为true表示此人还活着  
12     for (int i=1; i <= N; i++)  
13         *(p+i)=true;  
14       
15     int count=0;//统计自杀的人数  
16   
17     for (int i=1, j=0; ;i++)//i用来表示循环，j用来计算是不是第N个人  
18     {  
19         if (*(p+i))//此人还活着  
20         {  
21             j++;  
22             if (j == M)  
23             {  
24                 *(p+i)=false;  
25                 j=0;  
26                 count++;//统计自杀的人  
27             }  
28             if (count == N)  
29             {  
30                 cout<<"最后自杀的人是："<<i<<endl;  
31                 break;  
32             }  
33         }  
34   
35         if(i == N)  
36             i=0;  
37     }  
38   
39     delete []p;  
40       
41     return 0;  
42 }  

  上述方法的效率很低，其时间复杂度为O(mn)。当n和m很大时，很难在短时间内得出结果。不过好处就是可以给出n个人出圈的次序。只要在删除前保存一下即可。

       下面利用数学推导，如果能得出一个通式，就可以利用递归、循环等手段解决。下面给出推导的过程：

        （1）第一个被删除的数为 (m - 1) % n。

        （2）假设第二轮的开始数字为k，那么这n - 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, .....,k - 3, k - 2。做一个简单的映射。

             k         ----->  0 
             k+1    ------> 1 
             k+2    ------> 2 
               ... 
               ... 

             k-2    ------>  n-2 

        这是一个n -1个人的问题，如果能从n - 1个人问题的解推出 n 个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n  <=>  (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

        （3）第二个被删除的数为(m - 1) % (n - 1)。

        （4）假设第三轮的开始数字为o，那么这n - 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,......o - 3, o - 2.。继续做映射。

             o         ----->  0 
             o+1    ------> 1 
             o+2    ------> 2 
               ... 
               ... 

             o-2     ------>  n-3 

         这是一个n - 2个人的问题。假设最后的胜利者为y，那么n -1个人时，胜利者为 (y + o) % (n -1 )，其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)

         要得到n - 1个人问题的解，只需得到n - 2个人问题的解，倒推下去。只有一个人时，胜利者就是编号0。下面给出递推式：

          f [1] = 0; 
          f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1) 

        有了递推公式，实现就非常简单了。

代码如下：

 1 #include<iostream>  
 2 using namespace std;  
 3 int main()  
 4 {  
 5     int N;//人的总个数  
 6     int M;//间隔多少个人  
 7   
 8     cin>>N;  
 9     cin>>M;  
10     int result=0;//N=1情况  
11     for (int i=2; i<=N; i++)  
12     {  
13         result=(result+M)%i;  
14     }  
15     cout<<"最后自杀的人是："<<result+1<<endl;//result要加1  
16     return 0;  
17 }