蒙哥马利算法详解
Posted 轩辕223
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了蒙哥马利算法详解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
这篇文章为大家梳理一下整个蒙哥马利算法的本质,蒙哥马利算法并不是一个独立的算法,而是三个相互独立又相互联系的算法集合,其中包括
- 蒙哥马利乘模,是用来计算
x?y (mod N) - 蒙哥马利约减,是用来计算
t?ρ?1 (mod N) - 蒙哥马利幂模,是用来计算
xy (mod N)
其中蒙哥马利幂乘是RSA加密算法的核心部分。
基本概念
梳理几个概念,试想一个集合是整数模N之后得到的
注:N在base-b进制下有
这样的集合叫做N的剩余类环,任何属于这个集合Z的x满足以下两个条件:
1. 正整数
2. 最大长度是
这篇文章中讲到的蒙哥马利算法就是用来计算基于
在剩余类环上,有两种重要的运算,一类是简单运算,也就是加法和减法,另一类复杂运算,也就是乘法。我们比较熟悉的是自然数集上的运算,下面看下怎么从自然数集的运算演变成剩余类环上的运算。
对于加法运算,如果计算
我们可以简单的通过加减N来实现从自然数到剩余类集的转换
另外一类是乘法操作,也就是
如果在自然数集下,令
加减操作很简单,具体的算这里就不细说了,我们用
但是这并不是一个好的解决方案,因为通常来说,我们不会直接做w位乘w位的操作,这个后面会用蒙哥马利的乘法来代替解决。
对于取模操作,一般有以下几种方法
1,根据以下公式,来计算取模操作
这种解法有以下特征
- 整个计算过程是基于标准的数字表示
- 不需要预计算(也就是提前计算一些变量,以备使用)
- 涉及到一个除法操作,非常费时和复杂
2,用Barrett reduction算法,这篇文章不细说,但是有以下特征
- 基于标准的数字表示
- 不需要预计算
- 需要
2?(lN+1)?(lN+1) 次数乘运算
3,用蒙哥马利约减,也就是下面要讲的算法,有以下特征
- 不是基于标准的数字表示(后文中有提到,是基于蒙哥马利表示法)
- 需要预计算
- 需要
2?(lN)?(lN) 次数乘运算
蒙哥马利预备知识
在将蒙哥马利算法之前,先看一下在自然数下的乘法公式
计算
尝试下面一个例子,10进制下(也就是b=10),y=456(也就是
最后一次演变其实就是用霍纳法则(Horner’s rule)所讲的规则,关于霍纳法则,可以自行百度。
这个计算过程写成代码实现的算法应该是这样的:
接下来我们来看下面这样的计算,计算
由此可以知道:
这个计算过程写成代码实现的算法是这样的:
接下来我们再来看在剩余类集合下的乘法操作
我们知道剩余类集合
这个问题是这样的,我们知道
这个过程之后
至此,你可能还不明白上面说这一堆演变的原因,其实很简单,原来是一个
但是我们要计算的明明是
考虑这样两个算法
- 第一个是输入x和y,计算
- 第二个算法,输入一个t,计算
是不是变成了我们需要的
扯了一大顿,终于引出了今天文章的主角,前面讲到的两个算法,第一个就是蒙哥马利乘模,第二个就是蒙哥马利约减。下面我们来讲这两个算法的详解。
正如前面提到的蒙哥马利算法的三个特性之一是,不是基于普通的整数表示法,而是基于蒙哥马利表示法。什么是蒙哥马利表示法呢,其实也很简单,上面我们提到,要让
所以我们先定义几个概念:
- 蒙哥马利参数
给定一个N,N在b进制(例如,二进制时,b=2)下共有l位,gcd(N,b)=1 ,先预计算以下几个值(这就是前面提到的特性之一,需要预计算): ρ=bk 指定一个最小的k,使得bk>N
ω=?N?1(mod ρ)
这两个参数是做什么用的呢,你对照前面的演变过程可以猜到ρ 就是前面演变中的1000,而ω 则是用来计算前面提到的u的。
蒙哥马利表示法
对于x,0?x?N?1 ,x的蒙哥马利表示法表示为x=x?ρ (mod N)
蒙哥马利约减
蒙哥马利约减的定义如下
给定一些整数t,蒙哥马利约减的计算结果是
蒙哥马利约减的算法可表示为
蒙哥马利约减可以算作是下面要说的蒙哥马利模乘当
蒙哥马利约减可以用来计算某个值得取模操作,比如我们要计算
的蒙哥马利表示法
蒙哥马利乘模
一个蒙哥马利乘模包括整数乘法和蒙哥马利约减,现在我们有蒙哥马利表示法:
它们相乘的结果是
最后,用一次蒙哥马利约减得到结果
上面我们可以看出,给出的输入参数是
举个例子:
b=10,也就是说在10进制下,N=667
让
因为
因为
所以计算
然后总结一下蒙哥马利约减和蒙哥马利乘法的伪代码实现,这个算法其实就是从蒙哥马利预备知识讲到的算法演变来的。
上面的例子用这个算法可以描述为
蒙哥马利算法是一套很完美的算法,为什么这么说呢,你看一开始已知
蒙哥马利幂模
最后,才说到我们最开始提到的RSA的核心幂模运算,先来看一下普通幂运算的算法是怎么得出来的。
以下资料来自于百度百科快速模幂运算
针对快速模幂运算这一课题,西方现代数学家提出了大量的解决方案,通常都是先将幂模运算转化为乘模运算。
例如求D=C^15%N
由于:a*b % n = (a % n)*(b % n) % n
所以令:
C1 =C*C % N =C^2 % N
C2 =C1*C % N =C^3 % N
C3 =C2*C2 % N =C^6 % N
C4 =C3*C % N =C^7 % N
C5 =C4*C4 % N =C^14 % N
C6 =C5*C % N =C^15 % N
即:对于E=15的幂模运算可分解为6 个乘模运算,归纳分析以上方法可以发现:
对于任意指数E,都可采用以下算法计算D=C**E % N:
D=1
WHILE E>0
IF E%2=0
C=C*C % N
E=E/2
ELSE
D=D*C % N
E=E-1
RETURN D
继续分析会发现,要知道E 何时能整除 2,并不需要反复进行减一或除二的操作,只需验证E 的二进制各位是0 还是1 就可以了,从左至右或从右至左验证都可以,从左至右会更简洁,
设E=Sum[i=0 to n](E*2**i),0<=E<=1
则:
D=1
FOR i=n TO 0
D=D*D % N
IF E=1
D=D*C % N
RETURN D这样,模幂运算就转化成了一系列的模乘运算。
算法可以写成如下的形式
如果我们现在用蒙哥马利样式稍作改变,就可以变成如下的形式:
以上就是蒙哥马利算法的全部,通过蒙哥马利算法中的约减运算,我们将大数运算中的模运算变成了移位操作,极大地提高了大数模乘的效率。
但是在以上的算法,可以发现还有两个变量的计算方式不是很清楚,一个是
尽管N有可能是合数(因为两个素数的乘积不一定是素数),但通常N和
因为
还有一个参数是
至此整个蒙哥马利算法就全部说完了。通过这个算法,我们可以实现快速幂模。
以上是关于蒙哥马利算法详解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
欧几里得算法解决 RR' - NN' = 1. 使用蒙哥马利算法进行模幂运算以在 python 或 Petite Chez 方案中实现费马检验