1025 数的划分（搜索和递推方法）

Posted 2020-08-13 tat296847

难度：普及/提高-

题目类型：递推

提交次数：3

涉及知识：动规

题目描述

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两个方案不相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1，1，5; 1，5，1; 5，1，1;

问有多少种不同的分法。

输入输出格式

输入格式：

n，k (6<n<=200，2<=k<=6)

 

输出格式：

一个整数，即不同的分法。

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搜索：

代码：

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int n, k;
 4 int ans;
 5 void dfs(int left, int step, int x){
 6     if(step == k-1&&x>0&&x>=left){
 7         ans++;
 8         //cout<<x<<endl;    
 9     }
10     else if(x <= 0||step>=k||x<left) return;
11     else{
12         for(int i = left; i < n; i++)
13             dfs(i, step+1, x-i);
14     }
15 }
16 int main(){
17     cin>>n>>k;
18     //for(int i = 0; i < n/k; i++)
19     dfs(1, 0, n);
20     cout<<ans;
21     return 0;
22 }

备注：

感觉想到dfs还是挺自然的，边界条件要想好。为了避免重解，规定从左到右递增，所以代码中标黄部分要注意一下。哎，搜索还得练啊qwq

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递推：

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int f[205][7];
 4 int main(){
 5     int n, k;
 6     int i, j;
 7     cin>>n>>k;
 8     f[0][0] = 1;
 9     for(i = 1; i <= n; i++)
10         for(j = 1; j <= k&&j <= i; j++)
11             f[i][j] = f[i-j][j]+f[i-1][j-1];
12     cout<<f[n][k];
13     return 0;
14 } 

备注：

参考题解，这个递推方程实在太漂亮！！！必须得记录一下。

下面摘自题解原话，叙述的很清楚。这个思想学组合数学时也曾经用到过。

设F(i,j)为用j个数组成i，答案为F(7,3)的话。

一个思路是，对于F(7,3)=不含1的方案数①+含1的方案数②。

F(i,j)=a(i,j)+b(i,j)

子问题①a(i,j)=F(i-j,j)，如其中一个方案2 2 3不含1，则把组成它的j个数都减去1，变成1 1 2的方案，即用3个数组成4.

子问题②b(i,j)=F(i-1,j-1)，即用j-1个数组成i-1，则第j个数必为1

对于像 1 1 5,1 5 1,5 1 1这样的方案，从F(7,3)变成了F(5,1)，即转化成了用1个数组成5，所以像这样就不会重复。

综上 F(i,j)=F(i-j,i)+F(i-1,j-1).

初始化至少要有F(0,0)=1，其他0。因为对于i==j，即F(x,x)=F(0,x)+F(x-1,x-1). F(0,x)必为0而F(x,x)必为1.

同样，递推的题边界条件都要想好。这里f(0,0)=1就很关键，原因答主也解释的很清楚。