复旦高等代数 I（16级）思考题

Posted 2020-08-13 谢启鸿高等代数官方博客

1、试求下列 $n+1$ 阶行列式的值:

$$|A|=\begin{vmatrix} x-n & n & & & \\ -1 & x-n+2 & n-1 & & \\ & -2 & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & -n & x+n \\ \end{vmatrix}.$$

2、设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 试证明 (注意不能用高代 II 的方法):

(i) 若 $AB-BA=A$, 则 $A$ 为奇异阵;

(ii) 若存在正整数 $m$, 使得  $AB-BA=A^m$, 则 $A$ 为奇异阵.